x³ + qx - r = 0 সমীকরণের মূল তিনটি  alpha, beta, gamma 

 sum beta^2 gamma^2  এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(x^3 + qx - r = 0\) সমীকরণের মূল তিনটি \(\alpha, \beta, \gamma\) হলে, আমাদের জানা দরকার:
সেগুলির মধ্যে sum এবং beta² gamma² এর মান কত?

প্রথমে, সাধারণ ক্যুরের সমীকরণের জন্য মূলের উপর ভিত্তি করে ভেরিয়েবল সমূহের সমীকরণগুলি মনে রাখি।
সমীকরণটি হলো:
\(x^3 + px^2 + qx + r = 0\)

আমাদের সমীকরণটি হলো:
\(x^3 + 0x^2 + qx - r = 0\)
অর্থাৎ,
ক্যুরের সমীকরণে:

• \(\alpha + \beta + \gamma = -p = 0\)
• \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q\)
• \(\alpha \beta \gamma = -r\)

তাহলে, মূলের সংক্ষিপ্ত সমীকরণ হলো:

• \(\alpha + \beta + \gamma = 0\)
• \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q\)
• \(\alpha \beta \gamma = -r\)

আমাদের লক্ষ্য:
\(\beta^2 \gamma^2\) এর মান নির্ণয় করা এবং তারপর তার সাথে \(\alpha\) এর যোগফল, অর্থাৎ,
\( \text{sum} \beta^2 \gamma^2 \)

প্রথমে, \(\beta^2 \gamma^2 = (\beta \gamma)^2\)।
তাহলে, \(\beta \gamma\) এর মান জানা দরকার।

আমরা জানি: \(\alpha \beta \gamma = -r\) এবং \(\alpha + \beta + \gamma = 0\)।
তাহলে, \(\alpha = - (\beta + \gamma)\)

আমাদের মূলের উপর নির্ভর করে, আমরা \(\beta\) ও \(\gamma\) এর উপর নির্ভর করে মূলের সম্পর্কগুলো লিখি।

তবে, সরাসরি \(\beta \gamma\) এর মান নির্ণয়ের জন্য, আমরা নিম্নলিখিত পরিচিতি ব্যবহার করব:

সমীকরণের মূলের জন্য:

• \(\alpha + \beta + \gamma = 0\)
• \(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q\)
• \(\alpha \beta \gamma = -r\)

আরো, আমরা জানি:

\[ (\beta + \gamma)^2 = \beta^2 + 2\beta \gamma + \gamma^2 \] অর্থাৎ, \[ \beta^2 + \gamma^2 = (\beta + \gamma)^2 - 2 \beta \gamma \] এছাড়াও, \(\alpha = -(\beta + \gamma)\), তাই: \[ \alpha^2 = (\beta + \gamma)^2 \] আমাদের লক্ষ্য: \(\beta^2 \gamma^2 = (\beta \gamma)^2\) এখন, \(\beta + \gamma = -\alpha\) তাই, \(\beta \gamma\) এর জন্য, মূলের উপর নির্ভর করে: \[ \beta \gamma = \frac{\alpha^2 - (\beta^2 + \gamma^2)}{2} \] যদিও এই পথ একটু জটিল, তবে মূলের সূত্র থেকে সহজভাবে বলতে পারি: \[ \text{আমাদের মূল সূত্রগুলো থেকে,} \quad \boxed{\beta \gamma = \frac{(\alpha + \beta + \gamma)^2 - (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)}{2}} \] যেহেতু, \(\alpha + \beta + \gamma = 0\), তাই: \[ \beta \gamma = - \frac{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}{2} \] কিন্তু, এই পদ্ধতিতে খুব সহজ নয়। আরও সরাসরি উত্তর পাওয়ার জন্য, মূলের সমীকরণের উপর ভিত্তি করে, আমরা জানি: \[ \beta \gamma = \frac{(\alpha + \beta + \gamma)^2 - (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)}{2} \] যেহেতু \(\alpha + \beta + \gamma = 0\), তাই: \[ \beta \gamma = - \frac{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}{2} \] তাহলে, \(\beta \gamma\) এর মানের জন্য, মূলের উপর ভিত্তি করে, সহজভাবে বলতে গেলে, মূলের গুণফল \(\alpha \beta \gamma = -r\), যার কারণে: \[ \beta \gamma = \frac{-r}{\alpha} \] অর্থাৎ, \[ \beta^2 \gamma^2 = \left( \frac{-r}{\alpha} \right)^2 = \frac{r^2}{\alpha^2} \] অতএব, \[ \text{sum of } \beta^2 \gamma^2 \text{ over all roots} = \text{(প্রতিটি } \beta, \gamma \text{ জন্য)} \quad \frac{r^2}{\alpha^2} \] তবে, মূলের গুণফল \(\alpha \beta \gamma = -r\), এবং মূলের গুণফল \(\alpha \beta \gamma\) নির্ণয় করা হয়েছে। মূলের উপর নির্ভর করে, এই সমাধান থেকে দেখা যায় যে, মূলের সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে, \(\beta^2 \gamma^2\) এর মান \(q^2\) এর সমান হয়। **সুতরাং, উত্তর:** \[ \boxed{q^2} \]