int(1+tan^2x)/(1+tanx)^2dx=? 

Explanation:

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\int \frac{1+\tan^2x}{(1+\tan x)^2} dx = ?\)

সমাধান:

আমরা জানি, \(1 + \tan^2x = \sec^2x\)। সুতরাং,

\[ \int \frac{1+\tan^2x}{(1+\tan x)^2} dx = \int \frac{\sec^2x}{(1+\tan x)^2} dx \]

ধরি, \(u = 1 + \tan x\)। তাহলে, \(\frac{du}{dx} = \sec^2x\), অর্থাৎ \(du = \sec^2x dx\)।

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int \frac{du}{u^2} = \int u^{-2} du \]

আমরা জানি, \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)। সুতরাং,

\[ \int u^{-2} du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C \]

এখন, \(u\) এর মান বসিয়ে পাই:

\[ -\frac{1}{1+\tan x} + C \]

সুতরাং,

\[ \int \frac{1+\tan^2x}{(1+\tan x)^2} dx = -\frac{1}{1+\tan x} + C \]

এইবার, উত্তরটিকে আরেকটু সরল করা যাক।

\[ -\frac{1}{1+\tan x} + C = -\frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} + C = -\frac{\cos x}{\cos x + \sin x} + C \]

আমরা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) দিয়ে গুণ ও ভাগ করে পাই,

\[ -\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x}{\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x} + C = -\frac{\cos(\pi/4)\cos x}{\cos(\pi/4)\cos x + \sin(\pi/4)\sin x} + C \] এখন, \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\) এই সূত্র ব্যবহার করে পাই, \[ -\frac{\cos(\pi/4)\cos x}{\cos(x - \pi/4)} + C \] তবে, প্রথম উত্তরটি বেশি স্ট্যান্ডার্ড। 🎉🎉🎉

অতএব, উত্তর: \(-\frac{1}{1+\tan x} + C\)