x² + 3x + y = 0 পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

প্রদত্ত সমীকরণ: \(x^2 + 3x + y = 0\)

পরাবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \( (x-h)^2 = 4a(y-k) \) আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

\(x^2 + 3x + y = 0\)

\(\Rightarrow x^2 + 3x = -y\)

\(\Rightarrow x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = -y + \left(\frac{3}{2}\right)^2\) [উভয় পক্ষে \(\left(\frac{3}{2}\right)^2\) যোগ করে]

\(\Rightarrow \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -y + \frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\left(y - \frac{9}{4}\right)\)

\(\Rightarrow \left(x - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)^2 = -1\left(y - \frac{9}{4}\right)\)

এখন, \((x-h)^2 = 4a(y-k)\) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\(h = -\frac{3}{2}\), \(k = \frac{9}{4}\) এবং \(4a = -1 \Rightarrow a = -\frac{1}{4}\)

সুতরাং, শীর্ষ \((h, k) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)\)

যেহেতু \(a\) ঋণাত্মক, তাই পরাবৃত্তটি নিম্নগামী।

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((h, k+a)\) হবে।

অতএব, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right)\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4} - \frac{1}{4}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{8}{4}\right) = \left(-\frac{3}{2}, 2\right)\)

সুতরাং, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(-\frac{3}{2}, 2\right)\) 🥳