Another Explanation (5):
সমাধান:
আমাদের প্রশ্নঃ
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(5x)}{\sin(2x)}
\]
ধাপ 1: সাধারণ মান বিশ্লেষণ
যেহেতু \(x \to 0\), তখন \(\tan^{-1}(5x) \to 0\) এবং \(\sin(2x) \to 0\)। ফলে, এটি একটি \(\frac{0}{0}\) ধরণের অস্পষ্টতা, তাই লোপিটাল সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।
ধাপ 2: লোপিটাল সূত্র প্রয়োগ
আমরা বলতে পারি,
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(5x)}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \left(\tan^{-1}(5x)\right)}{\frac{d}{dx} \left(\sin(2x)\right)}
\]
যেখানে ডিফারেনশিয়াল গণনা হবে:
\[
\frac{d}{dx} \left(\tan^{-1}(5x)\right) = \frac{5}{1 + (5x)^2} = \frac{5}{1 + 25x^2}
\]
এবং
\[
\frac{d}{dx} \left(\sin(2x)\right) = 2\cos(2x)
\]
তাই,
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(5x)}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{1 + 25x^2}}{2\cos(2x)}
\]
ধাপ 3: মান স্থাপন
যখন \(x \to 0\), তখন:
\[
\frac{5}{1 + 25 \times 0^2} = 5
\]
এবং
\[
\cos(2 \times 0) = \cos(0) = 1
\]
অতএব,
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(5x)}{\sin(2x)} = \frac{5}{2 \times 1} = \frac{5}{2}
\]
উত্তরঃ
\[
\boxed{\frac{5}{2}}
\]
