Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
\[ 2x^2 + 3y^2 = 1 \]
এটি একটি উপবৃত্ত, যার অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে, উপবৃত্তের মানদণ্ডে সাধারণ রূপে রূপান্তর করি।
উপবৃত্তের সম??করণকে নিম্নরূপ লিখতে পারি:
\[ \frac{x^2}{\frac{1}{2}} + \frac{y^2}{\frac{1}{3}} = 1 \]
অর্থাৎ,
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
যেখানে,
\[ a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\[ b^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
উপবৃত্তের কেন্দ্র (Center): \( (0,0) \)
এখন, উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে। উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
\[ 2a \]
এখানে, \( a \) হলো অক্ষের বৃহত্তম অর্ধাংশ। অতঃপর,
\[ \text{উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য} = 2a = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]
তবে, প্রশ্নে দেওয়া উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে:
\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
অতএব, এখানে বোঝা যায় যে উপবৃত্তের অক্ষের লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হলে, লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে। উপবৃত্তের অক্ষের লম্বের দৈর্ঘ্য \(2b\), তা নয়। বরং, উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
\[
\text{উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য} = \frac{2b^2}{a}
\]
অথবা, সাধারণত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে পারি:
\[
\text{উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য} = \frac{2b^2}{a}
\]
উপরে, \( a = \frac{1}{\sqrt{2}} \), \( b = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
তাহলে,
\[
\text{লম্বের দৈর্ঘ্য} = \frac{2 \times \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2}{3} \times \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
\]
অতএব, উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো:
\[
\boxed{\frac{2\sqrt{2}}{3}}
\]
এই ফলাফলটি প্রশ্নের উত্তরের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
