\( y^2 = 4px \) পরাবৃত্তটির (3,-2) বিন্দু দিয়ে গমন করলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত একক?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y^2 = 4px \) পরাবৃত্তটির (3, -2) বিন্দু দিয়ে গমন করলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত একক? সমাধান: প্রথমে, পরাবৃত্তির সমীকরণ হলো: \[ y^2 = 4px \] এখানে, উপকেন্দ্রের সমীকরণ হলো: \[ x = -p \] দেওয়া বিন্দুটি হলো \( (x_1, y_1) = (3, -2) \)। চালিয়ে যাওয়া: 1. **প্যারামিটার নির্ণয়:** \( y_1^2 = 4p x_1 \) \[ (-2)^2 = 4p \times 3 \] \[ 4 = 12p \] \[ p = \frac{1}{3} \] 2. **উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:** \[ x_c = -p = -\frac{1}{3} \] \[ y_c = 0 \] 3. **দ্বৈত বিন্দু নির্ণয়:** পরাবৃত্তির উপর থেকে (3, -2) বিন্দু দিয়ে গমন করলে, এই বিন্দুটি পরাবৃত্তির দুটো বিন্দুর মধ্যে হতে পারে। অন্য বিন্দ??টি \( (x_2, y_2) \)। প্রতিটি বিন্দু \( (x, y) \) জন্য: \[ y^2 = 4 p x \] অতএব, অন্য বিন্দুটি হলো: \[ y_2^2 = 4 p x_2 \] 4. **উপকেন্দ্রের সাথে থেকে গমনরত বিন্দুর দূরত্ব:** উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো: \[ 2 \times \text{শক্তি} \text{ থেকে } (x_1, y_1) \text{ গমন করে } (x_2, y_2) \] এবং, উপকেন্দ্রের থেকে গমনরত বিন্দুর দূরত্ব হলো: \[ L = \sqrt{(x_2 - x_c)^2 + (y_2 - y_c)^2} \] আমাদের লক্ষ্য হলো এই দূরত্বের দ্বিগুণ, অর্থাৎ: \[ \text{L} = 2 \times \sqrt{(x_2 - x_c)^2 + y_2^2} \] কিন্তু, আমরা জানি \( y_2^2 = 4 p x_2 \), যেখানে \( p = \frac{1}{3} \), অতএব: \[ y_2^2 = 4 \times \frac{1}{3} \times x_2 = \frac{4}{3} x_2 \] আরো, \( x_2 \) এর মান: \[ x_2 = \frac{y_2^2}{4 p} = \frac{y_2^2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} y_2^2 \] 5. **দ্বৈত বিন্দু নির্ণয়:** পরাবৃত্তির উপর বিন্দু \( (x_2, y_2) \): \[ x_2 = \frac{3}{4} y_2^2 \] অন্যদিকে, \( (x_2, y_2) \) বিন্দুটি \( (3, -2) \) এর সাথে গমন করলে, তারা একসাথে অবস্থিত। তবে, অন্য বিন্দুটি খোঁজার জন্য, সোজাসাপ্টা পদ্ধতিতে, আমরা জানি: \[ \text{চল্লিশ} \text{ বিন্দু } (x, y) \text{ জন্য } y^2 = 4 p x \] প্রতিটি বিন্দু \( (x, y) \) এর জন্য: \[ (y + 2)(y - y_0) = 0 \] অথবা, দ্বৈত বিন্দুর জন্য, মূলত: \[ x = 3, y = -2 \] তবে, গমনরত বিন্দুর জন্য, সাধারণত: \[ \text{দ্বৈত বিন্দু } (x_2, y_2) \] যেখানে \( y_2 \neq y_1 \), এবং এদের মধ্যবর্তী সম্পর্ক: \[ \Rightarrow x_2 = \frac{3}{4} y_2^2 \] 6. **আসুন, নির্ণয় করি:** প্রথম বিন্দু \( (3, -2) \) অন্য বিন্দুটি \( (x_2, y_2) \) এর জন্য, এবং তারা গমন করে। এই বিন্দু গমন করে যেখানে: \[ x_2 = \frac{3}{4} y_2^2 \] অতএব, দূরত্ব: \[ L = \sqrt{(x_2 - x_c)^2 + y_2^2} \] যেহেতু, \[ x_c = -\frac{1}{3} \] তাই, \[ L = \sqrt{\left(\frac{3}{4} y_2^2 + \frac{1}{3}\right)^2 + y_2^2} \] অথবা, দ্বিগুণ দূরত্বের জন্য: \[ 2L \] তাই, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \[ \boxed{ \frac{4}{3} } \] **উত্তর:** \(\boxed{\frac{4}{3}}\)