Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্ন: \( 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 = 0 \) এই ত্রিঘাত সমীকরণের মূলগুলো \( a, b, c \)।
আমরা সাধারণত ত্রিঘাত সমীকরণের মূলগুলো খুঁজতে পারি মূলগুলো নির্ণয় করে বা রৈখিক সমাধানের মাধ্যমে। এখানে মূলগুলো দেওয়া হয়েছে: \(-1, \frac{3}{2}, -2\)। চলুন এদের যাচাই করি।
ধাপ ১: মূলগুলো দিয়ে সমীকরণ যাচাই
প্রতিটি মূলকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি।
1. \( x = -1 \):
\( 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 5(-1) - 6 \)
\( = 2(-1) + 3(1) + 5 - 6 \)
\( = -2 + 3 + 5 - 6 \)
\( = ( -2 + 3 ) + ( 5 - 6 ) \)
\( = 1 - 1 \)
\( = 0 \)
অতএব, \( x = -1 \) সমীকরণের একটি মূল।
2. \( x = \frac{3}{2} \):
\( 2 \left( \frac{3}{2} \right)^3 + 3 \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 5 \left( \frac{3}{2} \right) - 6 \)
\( = 2 \times \frac{27}{8} + 3 \times \frac{9}{4} - 5 \times \frac{3}{2} - 6 \)
\( = \frac{54}{8} + \frac{27}{4} - \frac{15}{2} - 6 \)
সমাধান করি:
\( \frac{54}{8} = \frac{27}{4} \)
অতএব, সমীকরণ হয়ে:
\( \frac{27}{4} + \frac{27}{4} - \frac{15}{2} - 6 \)
\( = \frac{54}{4} - \frac{15}{2} - 6 \)
\( = \frac{54}{4} - \frac{30}{4} - \frac{24}{4} \)
\( = \frac{54 - 30 - 24}{4} \)
\( = \frac{0}{4} = 0 \)
অতএব, \( x = \frac{3}{2} \) সমীকরণের একটি মূল।
3. \( x = -2 \):
\( 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 5(-2) - 6 \)
\( = 2(-8) + 3(4) + 10 - 6 \)
\( = -16 + 12 + 10 - 6 \)
\( = ( -16 + 12 ) + ( 10 - 6 ) \)
\( = -4 + 4 = 0 \)
অতএব, \( x = -2 \) সমীকরণের একটি মূল।
ধাপ ২: মূলগুলো যাচাই ও সমীকরণ গঠন
যেহেতু মূলগুলো হলো:
\( a = -1 \), \( b = \frac{3}{2} \), \( c = -2 \)
প্রথমে মূলগুলো যোগফল:
\( a + b + c = -1 + \frac{3}{2} - 2 \)
\( = -1 - 2 + \frac{3}{2} \)
\( = -3 + \frac{3}{2} \)
\( = -\frac{6}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \)
অর্থাৎ, সমীকরণের মূলগুলো যোগফল:
\[
a + b + c = -\frac{3}{2}
\]
যাচাই করতে পারি মূলগুলোর গুণফল:
\[
abc = (-1) \times \frac{3}{2} \times (-2) = (-1) \times \frac{3}{2} \times (-2) = \left( -1 \times -2 \right) \times \frac{3}{2} = 2 \times \frac{3}{2} = 3
\]
এবং, মূলগুলো যোগফল ও গুণফল দিয়ে সমীকরণের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী সমীকরণটি লেখা যায়:
\[
2x^3 + \text{(coefficient)} \times x^2 + \text{(coefficient)} \times x + \text{constant} = 0
\]
যেখানে,
\[
\text{Sum of roots} = - \frac{\text{coefficient of } x^2}{\text{coefficient of } x^3}
\]
\[
a + b + c = - \frac{3}{2}
\]
এবং,
\[
\text{Product of roots} = - \frac{\text{constant term}}{\text{coefficient of } x^3}
\]
\[
abc = - \frac{-6}{2} = 3
\]
এখানে, সমীকরণটির মূলগুলো সঠিকভাবে যাচাই হয়েছে।
উপসংহার
সুতরাং, মূলগুলো হলো:
\[
\boxed{-1, \frac{3}{2}, -2}
\]
এবং এটাই হলো সমীকরণের মূলগুলো।
