\(5x - 2y + 7 = 0\) সরলরেখার উপর লম্ব এবং \((-3,1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ-
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া সরলরেখার সমীকরণ: \(5x - 2y + 7 = 0\)
এবং আমরা খুঁজছি এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ যা:
- উপরে উল্লিখিত সরলরেখার জন্য লম্ব (অর্থাৎ, উভয়ের ঢাল বা স্লোপের উল্টো ও বিপরীত ধনাত্মক বা ঋনাত্মক হবে)
- \((-3, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
ধাপ ১: ঢাল নির্ণয় করা
প্রথমে মূল সরলরেখার ঢাল নির্ণয় করি।
উপস্থিত রেখার সমীকরণ: \(5x - 2y + 7 = 0\)
একে সাধারণ রূপে লেখি: \(5x - 2y = -7\)
এখানে, ঢাল \(m_1 = \frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{5}{2}\)
ধাপ ২: লম্বের ঢাল নির্ণয়
অন্য একটি রেখা লম্ব হলে, তার ঢাল হবে মূল রেখার ঢালের বিপরীত উল্টো।
অর্থাৎ, যদি মূল রেখার ঢাল \(m_1 = \frac{5}{2}\), তবে লম্ব রেখার ঢাল হবে:
\(m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{5}{2}} = -\frac{2}{5}\)
ধাপ ৩: লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয়
লম্ব রেখার ঢাল \(m_2 = -\frac{2}{5}\) এবং এটি \((-3, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে।
সুতরাং, রেখার সমীকরণ হবে:
\(y - y_1 = m (x - x_1)\)
এখানে, \((x_1, y_1) = (-3, 1)\)
অর্থাৎ:
\(y - 1 = -\frac{2}{5} (x + 3)\)
ধাপ ৪: সরলীকরণ
দুটি পাশ গুণি ৫ করে ভগ্নাংশের থেকে মুক্তি পাই:
\(5(y - 1) = -2(x + 3)\)
\(5y - 5 = -2x - 6\)
এখন, সবপাশে সমান করে রাখি:
\(5y + 2x + 1 = 0\)
উপসংহার:
অতএব, সেই সরলরেখার সমীকরণ যা মূল রেখার উপর লম্ব এবং \((-3, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে, তা হলো:
\(2x + 5y + 1 = 0\)