সরল ছন্দিত স্পন্দনরত কোনো কণার গতি সরণের সর্বোচ্চ অবস্থান থেকে শুরু হলে আদি দশা হবে-
সরল ছন্দিত স্পন্দন (Simple Harmonic Motion)রত কোনো কণার সরণের সাধারণ সমীকরণ:
\[x = A \cos(\omega t + \phi)\]এখানে,
- \(x\) = সরণ
- \(A\) = বিস্তার (amplitude)
- \(\omega\) = কৌণিক কম্পাঙ্ক (angular frequency)
- \(t\) = সময়
- \(\phi\) = আদি দশা (initial phase)
প্রশ্নে বলা হয়েছে, কণাটির গতি সরণের সর্বোচ্চ অবস্থান থেকে শুরু হয়েছে। এর মানে \(t = 0\) সময়ে, \(x = A\) হবে।
তাহলে, সমীকরণে \(t = 0\) এবং \(x = A\) বসিয়ে পাই:
\[A = A \cos(\omega \cdot 0 + \phi)\] \[1 = \cos(\phi)\]আমরা জানি, \(\cos(\pi/2) = 0\) এবং \(\cos(0) = 1\)। যেহেতু কণাটি সর্বোচ্চ অবস্থান থেকে যাত্রা শুরু করেছে, তাই \(\phi\) এর মান এমন হবে যাতে \(x\) এর মান সর্বোচ্চ থাকে।
\(\cos(\phi) = 1\) হলে, \(\phi = 0\) অথবা \(2\pi\) অথবা \(4\pi\) ইত্যাদি হতে পারে। কিন্তু \( \phi = \frac{\pi}{2} \) হলে,
\[x = A \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) = -A \sin(\omega t)\]এক্ষেত্রে, \(t=0\) হলে \(x = 0\) হয়, যা প্রশ্নের শর্তের সাথে মেলে না।
অন্যদিকে, যদি আদি দশা \( \phi = \frac{\pi}{2} \) হয়, তবে সরণের সমীকরণ হবে:
\[ x = A \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) \]এখন, \( t = 0 \) বসিয়ে পাই:
\[ x = A \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \]কিন্তু আমাদের বলা হয়েছে যে \( t = 0 \) তে \( x = A \) (সর্বোচ্চ সরণ)। তাই কণার সরণের সমীকরণ \( x = A \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) \) এইরকম হওয়া উচিত। সেক্ষেত্রে,
\( x = A \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) \)
\( t = 0 \) হলে, \( x = A \sin(\frac{\pi}{2}) = A \) হয়, যা প্রশ্নের শর্তানুযায়ী সঠিক।
অতএব, আদি দশা \(\phi = \pi/2\) । 🎉
```