তিনটি বিন্দু A(1,3), B(-3,5), C(a,7) যদি 5 বর্গ-একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু নির্দেশ করে তবে C বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য কত একক?
Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(A(1,3)\), \(B(-3,5)\) এবং \(C(a,7)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 5 বর্গ একক। আমাদের \(C\) বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে পাই,
\[
\frac{1}{2} | (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)) | = 5
\]
এখানে, \(x_1 = 1\), \(y_1 = 3\), \(x_2 = -3\), \(y_2 = 5\), \(x_3 = a\), \(y_3 = 7\)
মান বসিয়ে পাই,
\[
\frac{1}{2} | (1(5 - 7) + (-3)(7 - 3) + a(3 - 5)) | = 5
\]
\[
\frac{1}{2} | (-2 - 12 - 2a) | = 5
\]
\[
| -14 - 2a | = 10
\]
সুতরাং, \(-14 - 2a = 10\) অথবা \(-14 - 2a = -10\)
যদি \(-14 - 2a = 10\) হয়, তবে \(-2a = 24\) অর্থাৎ \(a = -12\)
যদি \(-14 - 2a = -10\) হয়, তবে \(-2a = 4\) অর্থাৎ \(a = -2\)
সুতরাং, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-12, 7)\) অথবা \((-2, 7)\) হতে পারে।
এখন, \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:
\[
D = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{1 - 3}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) = (-1, 4)
\]
\(C\) বিন্দুগামী মধ্যমা \(CD\) এর দৈর্ঘ্য:
যদি \(C = (-12, 7)\) হয়, তবে
\[
CD = \sqrt{(-12 - (-1))^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{(-11)^2 + (3)^2} = \sqrt{121 + 9} = \sqrt{130}
\]
যদি \(C = (-2, 7)\) হয়, তবে
\[
CD = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
যেহেতু উত্তরে \(\sqrt{130}\) দেওয়া আছে, তাই \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-12, 7)\) এবং \(CD = \sqrt{130}\) একক।
অতএব, \(C\) বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(\sqrt{130}\) একক। 🎉
```