120° কোণে আনত √7 এককের দুইটি সমান বল একই বিন্দু হতে ক্রিয়ারত-

1. লব্ধির মান √7 একক 
2. লব্ধি √7 একক বলের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে 
3. লব্ধি বলদ্বয়ের যোগফল অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর 

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রশ্ন অনুযায়ী, দুটি সমান বল \(F\) এক বিন্দুতে কৌণিকভাবে 120° কোণে আনত হয়। আমাদের লক্ষ্য হলো এই পরিস্থিতির বিভিন্ন দিক বিশ্লেষণ করা।

প্রথমে, বলের মান নির্ণয় ও সম্পর্ক:

ধরা যাক, প্রতিটি বলের মান হলো \(F\)।

i) লব্ধির মান \( \sqrt{7} \) একক

অর্থাৎ, বলের মান \(F = \sqrt{7}\) একক। এই অবস্থায়, দুইটি সমান বল এক বিন্দুতে 120° কোণে আনত হলে, লব্ধি বা সমষ্টি বলের মান নির্ণয় করি: \[ \vec{F_1} = F \hat{a} \\ \vec{F_2} = F \hat{b} \] এখানে \(\hat{a}\) ও \(\hat{b}\) হলো ইউনিট ভেক্টর, যা 120° কোণে থাকে। লব্ধি বল: \[ \vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} \] magnitude: \[ |\vec{R}| = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 120^\circ} \] কারণ, দুই বলের মধ্যে কোণ \(\theta = 120^\circ\): \[ |\vec{R}| = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \cos 120^\circ} \] \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \] অর্থাৎ: \[ |\vec{R}| = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{2F^2 - F^2} = \sqrt{F^2} = F \] এখানে, যদি \(F = \sqrt{7}\), তবে: \[ |\vec{R}| = \sqrt{7} \] অতএব, **প্রথমটি সত্য**—লব্ধির মান \(\sqrt{7}\) একক। ---

ii) লব্ধি \( \sqrt{7} \) একক বলের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে

এখন, বলের মান \(F = \sqrt{7}\) একক, ও লব্ধির মানও \(\sqrt{7}\) একক। প্রশ্নে বলা হয়েছে, লব্ধি বলের সাথে 60° কোণে অন্য একটি বলের বল \(F_2\) উৎপন্ন হয়। সাধারণত, লব্ধি বলের মান: \[ |\vec{R}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \] এখানে, \(\theta = 60^\circ\), \(F_1 = \sqrt{7}\), \(F_2 = F\) (অভিপ্রেত সমান বল, কারণ প্রশ্নের ধারা অনুযায়ী বলের মান একই): \[ |\vec{R}| = \sqrt{7} \] অর্থাৎ: \[ \sqrt{7} = \sqrt{7 + 7 + 2 \times \sqrt{7} \times F \times \cos 60^\circ} \] কিন্তু এখানে, বিষয়টি বুঝতে হবে যে, লব্ধি বলের সাথে 60° কোণে আরেকটি বলের বল উৎপন্ন হয়, যার মান নির্ণয় করতে হবে। যদি বলের মান \(F\) হয় এবং লব্ধির মান \( \sqrt{7} \), তবে: \[ \text{লব্ধি বল} = |\vec{R}| = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 120^\circ} \] এটি পূর্বে দেখানো হয়েছে, এর ফলাফল হলো \(F\), অর্থাৎ, \(F = \sqrt{7}\)। তাই, অন্য বলের মান \(F_2\) যদি \( \sqrt{7} \) হয়, তাহলে লব্ধি বল এবং বলের কোণ সম্পর্ক: \[ \cos \theta = \frac{|\vec{R}|^2 - F_1^2 - F_2^2}{2 F_1 F_2} \] যেখানে, \( |\vec{R}| = \sqrt{7} \), \(F_1 = F_2 = \sqrt{7}\): \[ \cos \theta = \frac{7 - 7 - 7}{2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{-7}{2 \times 7} = -\frac{1}{2} \] \[ \Rightarrow \theta = 120^\circ \] তাই, এই পরিস্থিতিতে, বলের সাথে উৎপন্ন কোণ 60° নয়, বরং 120°। তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে 60°, তাই এই অবস্থায় এটা সম্ভব নয়। অতএব, **দ্বিতীয়টি ভুল**। ---

iii) লব্ধি বলদ্বয়ের যোগফল অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর

এখানে, দুই বলের যোগফল ও লব্ধি বলের তুলনা করতে হবে। - দুই বলের যোগফল: \[ |\vec{F_1} + \vec{F_2}| = F \sqrt{2 + 2 \cos 120^\circ} = \sqrt{7} \quad (আগে দেখানো) \] - লব্ধি বলের মান: \[ |\vec{R}| = \sqrt{7} \] অর্থাৎ, দুই বলের যোগফল ও লব্ধি বলের মান সমান। তাই, **তুলনা করলে তারা সমান**, অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতর নয়। অতএব, **তৃতীয়টি ভুল**। ---

সারসংক্ষেপ:

- **i) সত্য** - **ii) ভুল** - **iii) ভুল** তাই, সঠিক উত্তর হবে: **"i only"**। কিন্তু প্রশ্নের উত্তরে বলা হয়েছে "i, ii ও iii"। এ ক্ষেত্রে, প্রশ্নের ব্যাখ্যায় কিছু বিভ্রান্তি থাকতে পারে। তবে, বিশ্লেষণ অনুযায়ী, শুধুমাত্র (i) সঠিক। ---

উত্তর:

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: "i"