নিচের ধারাটির মান নির্ণয় কর: 1/(1×2)+1/(3×4)+1/(5×6)+.....oo  

Another Explanation (5): প্রশ্ন: নিচের ধারাটির মান নির্ণয় কর: \(\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \dotsb\) উত্তর: \( \ln 2 \) সমাধান: দেয়া ধারাঃ \[ S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \] প্রথমে প্রতিটি সাধারণ সদস্যকে পার্সেল করলে: \[ \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n+2} \] অভ্যন্তরীণ সমাধান: \[ 1 = A(2n+2) + B(2n+1) \] \( n \)-এর জন্য সমাধান করতে হলে: \[ 1 = 2A n + 2A + 2B n + B \] \[ 1 = (2A + 2B) n + (2A + B) \] তাই, \[ \begin{cases} 2A + 2B = 0 \Rightarrow A + B = 0 \\ 2A + B = 1 \end{cases} \] প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ B = -A \] দ্বিতীয় সমীকরণে বসলে: \[ 2A - A = 1 \Rightarrow A = 1 \] অতএব, \[ B = -1 \] অর্থাৎ, \[ \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \] সুতরাং, \[ S = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \right) \] এটি টেলিস্কোপিক ধারাঃ \[ S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \dotsb \] প্রথম অংশ: \[ S = \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dotsb \right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dotsb \right) \] দুটি ধারা: - অর্ধেকের হাফিং এর ধারাঃ \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = \frac{1}{2} H_\infty \] - অপরদিকে, অর্ধেকের অংকগুলো: \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1} = \text{অসীম ধারার হালনাগাদ মান, কিন্তু মূল ধারার পার্থক্য হিসেবে আমরা জানি:} \] অতএব, মূল ধারার মান: \[ S = \lim_{N \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{2k+1} - \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{2k} \right) \] তবে, এই পার্থক্যটি বিশ্লেষণে দেখা যায় এর মান হচ্ছে \(\ln 2\): \[ \boxed{ S = \ln 2 } \] **অতএব,** \[ \boxed{ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \dotsb = \ln 2 } \]