\( n \) এর কোন মানের জন্য \( (1+\frac{x}{2})^n \) এর বিস্তৃতিতে \( x^7 \) এবং \( x^8 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হবে?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( n \) এর জন্য কোন মানের জন্য \( (1+\frac{x}{2})^n \) এর বিস্তৃতিতে \( x^7 \) এবং \( x^8 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হবে? সমাধান: প্রথমত, আমরা জানি যে, \((1 + \frac{x}{2})^n\) এর বিস্তৃতি বাইনারি শ্রেণিবিন্যাসের সাহায্যে লেখা যায়: \[ (1 + \frac{x}{2})^n = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} \left(\frac{x}{2}\right)^k \] এখানে, \( \binom{n}{k} \) হলো বিনোমিয়াল কোফিশিয়েন্ট। প্রতিটি অংশের সহগ: \[ \text{coefficient of } x^k = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \] আমাদের লক্ষ্য হলো: \[ \binom{n}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \binom{n}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8 \] এখানে, সহগদ্বয় সমান হলে: \[ \binom{n}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \binom{n}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8 \] উভয়পাশে \(\left(\frac{1}{2}\right)^7\) গুণ করলে: \[ \binom{n}{7} = \binom{n}{8} \times \frac{1}{2} \] অর্থাৎ, \[ \binom{n}{7} = \frac{1}{2} \binom{n}{8} \] বিনোমিয়াল কোফিশিয়েন্টের সম্পর্ক: \[ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \] তাই, \[ \binom{n}{8} = \binom{n}{n-8} \] এবং, \[ \binom{n}{7} = \binom{n}{n-7} \] এখন, মূল সমীকরণটি লিখি: \[ \binom{n}{n-7} = \frac{1}{2} \binom{n}{n-8} \] অর্থাৎ, \[ \binom{n}{n-7} = \frac{1}{2} \binom{n}{n-8} \] অতএব, \[ \binom{n}{7} = \frac{1}{2} \binom{n}{8} \] এখানে, \[ \binom{n}{7} = \frac{n!}{7! (n-7)!} \] \[ \binom{n}{8} = \frac{n!}{8! (n-8)!} \] তাই, \[ \frac{n!}{7! (n-7)!} = \frac{1}{2} \times \frac{n!}{8! (n-8)!} \] নিয়ম অনুযায়ী, \( n! \) উভয় পাশে অপ্রতুল থাকায় কাটা যাবে: \[ \frac{1}{7! (n-7)!} = \frac{1}{2 \times 8! (n-8)!} \] এখন, \( (n-7)! \) ও \( (n-8)! \) সম্পর্ক: \[ (n-7)! = (n-7)(n-8)! \] অতএব, \[ \frac{1}{7! (n-7)(n-8)!} = \frac{1}{2 \times 8! (n-8)!} \] দুভর পাশে \( (n-8)! \) ও \( \)অপ্রতুল থাকায় কাটা যাবে: \[ \frac{1}{7! (n-7)} = \frac{1}{2 \times 8!} \] এখন, \[ \frac{1}{7! (n-7)} = \frac{1}{2 \times 8!} \] অর্থাৎ, \[ 7! (n-7) = 2 \times 8! \] জানিনা \( 7! \) ও \( 8! \): \[ 7! = 5040 \] \[ 8! = 8 \times 7! = 8 \times 5040 = 40320 \] অতএব, \[ 5040 (n-7) = 2 \times 40320 = 80640 \] অতএব, \[ n - 7 = \frac{80640}{5040} = 16 \] অতএব, \[ n = 16 + 7 = 23 \] উত্তর: \(\boxed{23}\)