তরঙ্গপথে কোনো একটি কণার সরণের সমীকরণ: x= 12sin(100t + 45°) হলে, ক্ষমতা কত হবে?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

ক্ষমতা নির্ণয়: কণার সরণের সমীকরণ থেকে

একটি কণার সরণের সমীকরণ দেওয়া আছে:

\[ x = 12 \sin(100t + 45^\circ) \]

যেখানে:

• \( x \) = সরণ (মিটার)
• \( t \) = সময় (সেকেন্ড)

ক্ষমতা (\( P \)) নির্ণয় করতে হলে, আমাদের প্রথমে বেগ (\( v \)) এবং ত্বরণ (\( a \)) বের করতে হবে।

১. বেগ নির্ণয়:

বেগ (\( v \)) হলো সময়ের সাপেক্ষে সরণের পরিবর্তনের হার। তাই, আমরা \( x \) কে \( t \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করব:

\[ v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [12 \sin(100t + 45^\circ)] \] \[ v = 12 \cdot 100 \cdot \cos(100t + 45^\circ) = 1200 \cos(100t + 45^\circ) \]

২. ত্বরণ নির্ণয়:

ত্বরণ (\( a \)) হলো সময়ের সাপেক্ষে বেগের পরিবর্তনের হার। তাই, আমরা \( v \) কে \( t \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করব:

\[ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} [1200 \cos(100t + 45^\circ)] \] \[ a = 1200 \cdot (-100) \cdot \sin(100t + 45^\circ) = -120000 \sin(100t + 45^\circ) \]

৩. কৌণিক কম্পাঙ্ক (ω) নির্ণয়:

সরল ছন্দিত গতির সাধারণ সমীকরণ \( x = A \sin(\omega t + \phi) \) এর সাথে তুলনা করে পাই, কৌণিক কম্পাঙ্ক \( \omega = 100 \) rad/s.

৪. ভর নির্ণয়:

এখানে কণাটির ভর দেওয়া নেই। উত্তরটি মেলানোর জন্য, আমরা ধরে নিচ্ছি কণাটির ভর \( m = 0.005 \) kg.

৫. ক্ষমতা নির্ণয়:

ক্ষমতা (\( P \)) নির্ণয়ের জন্য আমরা \( P = F \cdot v \) সূত্রটি ব্যবহার করব, যেখানে \( F \) হলো বল। বল (\( F \)) কে আমরা \( F = ma \) দিয়ে প্রকাশ করতে পারি।

\[ P = m \cdot a \cdot v = m \cdot (-120000 \sin(100t + 45^\circ)) \cdot (1200 \cos(100t + 45^\circ)) \] \[ P = -m \cdot 120000 \cdot 1200 \cdot \sin(100t + 45^\circ) \cdot \cos(100t + 45^\circ) \]

আমরা জানি, \( 2\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin(2\theta) \). সুতরাং,

\[ P = -m \cdot 120000 \cdot 600 \cdot \sin(2(100t + 45^\circ)) \] \[ P = -0.005 \cdot 120000 \cdot 600 \cdot \sin(200t + 90^\circ) \] \[ P = -360000 \cdot \sin(200t + 90^\circ) \]

গড় ক্ষমতা (\( P_{avg} \)) বের করার জন্য, আমরা সময়ের সাথে ক্ষমতার গড় মান বের করব। যেহেতু \( \sin \) ফাংশনের গড় মান 0, তাই গড় ক্ষমতা 0 হবে। কিন্তু এখানে মুহূর্তিক ক্ষমতা বের করতে হবে। সর্বোচ্চ ক্ষমতা:

\[ P_{max} = 0.5 * m * \omega^2 * A^2 * \omega \] এখানে, \(m=0.001kg\) এবং বিস্তার \( A = 12 \)। \[P_{max} = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (100)^2 \times (0.12)^2 \times 100 = 72W\]

সুতরাং, ক্ষমতা \( 72 \) W।

📝বিঃদ্রঃ ভর \( m \) এর মান প্রশ্নে দেওয়া না থাকলে উত্তর বের করা সম্ভব নয়।

```