4 জন মহিলাসহ 10 ব্যক্তির মধ্য থেকে 5 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে অন্তত একজন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকে। কত বিভিন্ন প্রকারে এ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, মোট ১০ জন ব্যক্তির মধ্যে ৪ জন মহিলা এবং ৬ জন পুরুষ। আমাদের মোট ৫ জনের কমিটি গঠন করতে হবে যাতে অন্তত একজন মহিলা থাকে। অর্থাৎ, কমিটিতে মহিলা অন্তর্ভুক্ত না থাকার সম্ভাবনা বাদ দিতে হবে। প্রথমে, মোট সম্ভাব্য কমিটি গঠনের সংখ্যা নির্ণয় করি:

1. সব মিলিয়ে ১০ জনের মধ্যে ৫ জন নির্বাচন:
\[ \binom{10}{5} \]
2. কমিটিতে মহিলা না থাকলে, শুধুমাত্র পুরুষদের মধ্য থেকে ৫ জন নির্বাচন করতে হবে:
\[ \binom{6}{5} \]

অতএব, কমিটিতে অন্তত একজন মহিলা থাকলে, মোট সম্ভাব্য কমিটি গঠনের সংখ্যা হবে: \[ \binom{10}{5} - \binom{6}{5} \] গণনা করি: \[ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \times 5!} = 252 \] \[ \binom{6}{5} = \frac{6!}{5! \times 1!} = 6 \] অতএব, \[ \boxed{ 252 - 6 = 246 } \] **উত্তর:** 246