বৃষ্টির দিনে একটি লোক ঘন্টায় 5 কি.মি বেগে হেটে দেখলো বৃষ্টি খাড়াভাবে পড়ছে। তার বেগ দ্বিগুন করে দেখলো বৃষ্টি খাড়া রেখার সাথে \( 30^\circ \) কোণে পড়ছে। বৃষ্টির প্রকৃত বেগ কত কি.মি/ঘ. ছিলো?

সমাধান:

ধরা যাক, বৃষ্টির প্রকৃত বেগ \( v_b \) (কি.মি/ঘ) এবং বৃষ্টির বেগের দিক দিয়ে তার ধ্রুবক (অর্থাৎ, বৃষ্টির বেগের অভিমুখ) হলো \( \theta \)।

প্রথমে, দেহের গতি \( v_d = 5 \) কি.মি/ঘ।

প্রথম পরিস্থিতি:

• লোকের গতি \( v_d = 5 \) কি.মি/ঘ।
• বৃষ্টির প্রভাবের কারণে তার দৃষ্টি বৃষ্টির সাথে অনুভূত হয় \(\alpha = 90^\circ\) (খাড়া রেখার সাথে)।
• অর্থাৎ, বৃষ্টির প্রকৃত গতি \( v_b \) এর জন্য, তার সমন্বিত গতি হবে:
\[ v_{total} = \sqrt{v_b^2 + v_d^2} \] এবং এই সময়ে, লোকের অনুভূত স্থিতিতে, বৃষ্টির গতি দেখাচ্ছে \(\alpha = 90^\circ\)। তবে, এই পরিস্থিতি মূলত তখন হয় যখন বৃষ্টি খাড়া, অর্থাৎ, \( \theta = 90^\circ \)।

দ্বিতীয় পরিস্থিতি:

• লোক তার গতি দ্বিগুণ করে, অর্থাৎ, \( v_d' = 2 \times 5 = 10 \) কি.মি/ঘ।
• এবং, এখন বৃষ্টি খাড়া রেখার সাথে \( 30^\circ \) কোণে পড়ছে।

এখন, লোকের দৃষ্টিতে বৃষ্টি দেখাচ্ছে \( 30^\circ \) এর কোণে। এই পরিস্থিতিতে, বৃষ্টির প্রকৃত গতি ও লোকের গতি সম্পর্কিত সমীকরণ হলো:

\[ \tan 30^\circ = \frac{v_b \sin \theta - v_d'}{v_b \cos \theta} \] এখানে, \( \theta \) হলো বৃষ্টির গতি নির্দেশের কোণ। কিন্তু, এভাবে সমাধান করতে গেলে, আমরা সাধারণত ব্যবহার করি ভেক্টর সমীকরণ: ভেক্টর সমাধান: বৃষ্টির গতি ভেক্টর \( \vec{v_b} \), যার দিক \( \theta \) এবং মান \( v_b \)।\ লোকের গতি \( \vec{v_d'} \) সরাসরি \( 10 \) কি.মি/ঘ।\ লোকের দৃষ্টিতে, বৃষ্টির গতি দেখাচ্ছে \( 30^\circ \) কোণে। অর্থাৎ, ভেক্টর যোগফল: \[ \vec{v_b} + \vec{v_d'} \text{ এর দিক } 30^\circ \] তাই, \[ \frac{v_b \sin \theta + v_d'}{v_b \cos \theta} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \] অথবা, বৃষ্টির প্রকৃত গতি \( v_b \) এর জন্য, \[ v_b \sin \theta + 10 = \frac{v_b \cos \theta}{\sqrt{3}} \] এবং, \[ v_b \sin \theta = \frac{v_b \cos \theta}{\sqrt{3}} - 10 \] উপরে, \[ v_b (\sin \theta - \frac{\cos \theta}{\sqrt{3}}) = -10 \] সাধারণত, এই সমীকরণ থেকে \( v_b \) নির্ণয় করতে হলে, আমরা \( \theta \) এর মান জানি না। তবে, মূলত, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, প্রথম পরিস্থিতিতে, \[ v_{total} = \sqrt{v_b^2 + 5^2} \] এবং দ্বিতীয় পরিস্থিতিতে, \[ v_{total} = \sqrt{v_b^2 + 10^2} \] এবং, বৃষ্টির গতি \( v_b \) এর মানটি 10 কি.মি/ঘ হলে, উভয় পরিস্থিতি সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়: - প্রথমে, \( v_b = 10 \) হলে, \[ \text{প্রথম পরিস্থিতি: } \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} \approx 11.18 \text{ কি.মি/ঘ।} \] - দ্বিতীয় পরিস্থিতিতে, \[ \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} \approx 14.14 \text{ কি.মি/ঘ।} \] এবং, বৃষ্টির প্রকৃত গতি \( v_b = 10 \) কি.মি/ঘ।। **অতএব, বৃষ্টির প্রকৃত গতি হলো: \(\boxed{10}\) কি.মি/ঘ।**