\( \int x^2 [1 + \ln(x^3 + 1)] \ dx \) এর মান কত?

Explanation: Hints: \(\int(y + z) kdx = \int ykdx + \int zkdx\) Solve: \(\int x^2[1 + \ln(x^3 + 1)] dx = \int x^2 dx + \int x^2 \ln(x^3 + 1) dx\) \[ = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3} \int \ln z dz \quad \text{where } x^3 + 1 = z \implies 3x^2 dx = dz \] \[ = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}(z \ln z - z) = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}((x^3 + 1) \ln|x^3 + 1| - (x^3 + 1)) = \frac{1}{3}(x^3 + 1) \ln(x^3 + 1) \]

Another Explanation (5): ```html

সমাধান: \( \int x^2 [1 + \ln(x^3 + 1)] \ dx \)

ধরি, \( u = x^3 + 1 \). তাহলে, \( du = 3x^2 dx \) অথবা, \( x^2 dx = \frac{1}{3} du \).

অতএব, সমাকলনটি হবে:

\( \int x^2 [1 + \ln(x^3 + 1)] \ dx = \int [1 + \ln(u)] \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int [1 + \ln(u)] \ du \)

এখন, \( \int [1 + \ln(u)] \ du \) নির্ণয় করতে হবে।

\( \int [1 + \ln(u)] \ du = \int 1 \ du + \int \ln(u) \ du \)

\( \int 1 \ du = u \)

এখন, \( \int \ln(u) \ du \) নির্ণয় করতে হবে। এখানে, আংশিক সমাকলন (integration by parts) ব্যবহার করি।

ধরি, \( v = \ln(u) \) এবং \( dw = du \). তাহলে, \( dv = \frac{1}{u} du \) এবং \( w = u \).

আংশিক সমাকলনের সূত্রানুসারে, \( \int v \ dw = vw - \int w \ dv \)

\( \int \ln(u) \ du = u \ln(u) - \int u \cdot \frac{1}{u} \ du = u \ln(u) - \int 1 \ du = u \ln(u) - u \)

তাহলে, \( \int [1 + \ln(u)] \ du = u + u \ln(u) - u = u \ln(u) \)

অতএব, \( \frac{1}{3} \int [1 + \ln(u)] \ du = \frac{1}{3} u \ln(u) \)

এখন, \( u \) এর মান বসিয়ে পাই,

\( \frac{1}{3} (x^3 + 1) \ln(x^3 + 1) + C \)

সুতরাং, \( \int x^2 [1 + \ln(x^3 + 1)] \ dx = \frac{1}{3} (x^3 + 1) \ln(x^3 + 1) + C \).

```