f(x) = cosec (cot^-1x) হলে f(2) এর মান কত?

প্রদত্ত ফাংশন: \( f(x) = \csc (\cot^{-1} x) \)

আমাদের লক্ষ্য: \( f(2) \) এর মান নির্ণয় করতে।

ধাপ 1: মূল ফাংশনের ব্যাখ্যা

আমরা জানি, \(\cot^{-1} x\) হল আর্সকট্যান্ট (অর্থাৎ, কোট্যানজেন্টের ইনভার্স) এবং এটি একটি অ্যাঙ্গেল \(\theta\) বোঝায় যেখানে:

\( \cot \theta = x \)

ধাপ 2: \(\cot \theta = x\) থেকে \(\csc \theta\) নির্ণয়

আমরা জানি:

• \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = x \)
• অর্থাৎ, \(\cos \theta = x \sin \theta\)

ধাপ 3: পিথাগোরাসের ত্রিভুজ ব্যবহার করে \(\sin \theta\) নির্ণয়

ধরা যাক, \(\sin \theta = S\) এবং \(\cos \theta = C\)। তখন:

\( C = x S \)

এবং পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী:

\( C^2 + S^2 = 1 \)

প্রতিস্থাপন করলে:

\( (x S)^2 + S^2 = 1 \)

বা:

\( x^2 S^2 + S^2 = 1 \)

বা:

\( S^2 (x^2 + 1) = 1 \)

অতএব:

\( S^2 = \frac{1}{x^2 + 1} \)

অর্থাৎ:

\( \sin \theta = S = \pm \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \)

ধাপ 4: \(\csc \theta\) নির্ণয়

কেননা:

\( \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \), তাই:

\( \csc \theta = \pm \sqrt{x^2 + 1} \)

ধাপ 5: \(f(x) = \csc (\cot^{-1} x)\) এর মান নির্ণয়

অর্থাৎ:

\( f(x) = \pm \sqrt{x^2 + 1} \)

এখন, \(\cot^{-1} x\) এর মান \( \theta \) এর জন্য, যেখানে \(\cot \theta = x\), ধরা হয়েছে। এই \(\theta\) এর চিহ্ন নির্ণয় করা জরুরি। সাধারণত, \(\cot^{-1} x\) এর মান \([0, \pi]\) সীমার মধ্যে হয়।

ধাপ 6: \(x=2\) এর জন্য মান নির্ণয়

প্রতিস্থাপন করে:

\( f(2) = \sqrt{2^2 + 1} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)

এবং, যেহেতু \(\sin \theta > 0\) বা \(\cos \theta > 0\) এর উপর নির্ভর করে চিহ্ন নির্ণয় করতে হবে। তবে, সাধারণত, \(\cot^{-1} x\) এর মান প্রথম কোণ বা দ্বিতীয় কোণে হয়। এই ক্ষেত্রে, \(\sin \theta > 0\) হবে। সুতরাং,:

f(2) এর মান হবে \(\boxed{\sqrt{5}}\)।