\( a \) এর কোন মানের জন্য \( (a +2x)^{10} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^5 \) এবং \( x^6 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হবে?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( a \) এর কোন মানের জন্য \( (a + 2x)^{10} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^5 \) এবং \( x^6 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হবে? সমাধান: আমরা প্রথমে \( (a + 2x)^{10} \) এর বিস্তৃতির সাধারণ রূপ লিখব: \[ (a + 2x)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} a^{10-k} (2x)^k \] এখানে, \( x^k \) এর সহগ হলো: \[ \binom{10}{k} a^{10-k} 2^k \] অর্থাৎ, \( x^k \) এর সহগ: \[ C_k = \binom{10}{k} a^{10-k} 2^k \] এখন, \( x^5 \) এবং \( x^6 \) এর সহগ: \[ C_5 = \binom{10}{5} a^{5} 2^{5} \] \[ C_6 = \binom{10}{6} a^{4} 2^{6} \] আমাদের দেওয়া হয়েছে, এই দুই সহগের মান পরস্পর সমান: \[ C_5 = C_6 \] অর্থাৎ, \[ \binom{10}{5} a^{5} 2^{5} = \binom{10}{6} a^{4} 2^{6} \] \[ \Rightarrow \binom{10}{5} a^{5} 2^{5} = \binom{10}{6} a^{4} 2^{6} \] প্রথমে, \(\binom{10}{5}\) এবং \(\binom{10}{6}\) এর মান নির্ণয় করি: \[ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \, 5!} = 252 \] \[ \binom{10}{6} = \frac{10!}{6! \, 4!} = 210 \] এখন, \[ 252 a^{5} 2^{5} = 210 a^{4} 2^{6} \] দুটি পক্ষে থেকে সমান রূপে সরল করি: \[ 252 a^{5} \times 32 = 210 a^{4} \times 64 \] অর্থাৎ, \[ 252 \times 32 \times a^{5} = 210 \times 64 \times a^{4} \] দুটি পাশে \( a^{4} \) ভাগ করি: \[ 252 \times 32 \times a = 210 \times 64 \] এখন, মান গুলো নির্ণয় করি: \[ 252 \times 32 a = 210 \times 64 \] \[ (252 \times 32) a = 210 \times 64 \] \[ (252 \times 32) a = 210 \times 64 \] Calculating: \[ 252 \times 32 = (250 + 2) \times 32 = 250 \times 32 + 2 \times 32 = 8000 + 64 = 8064 \] \[ 210 \times 64 = (200 + 10) \times 64 = 200 \times 64 + 10 \times 64 = 12800 + 640 = 13440 \] তাহলে, \[ 8064 a = 13440 \] \[ a = \frac{13440}{8064} \] সরলীকরণ করি: প্রথমে, দুইটি সংখ্যার গুটিকয়েক ভাগফল নির্ণয় করি: \[ a = \frac{13440}{8064} \] দুটি সংখ্যার গুণফল: \[ 13440 \div 8064 = \frac{13440}{8064} \] দুটি সংখ্যাকে ছোট করে ভাগ করি: \[ \frac{13440}{8064} = \frac{13440 \div 48}{8064 \div 48} = \frac{280}{168} \] আরো সরল করি: \[ \frac{280}{168} = \frac{280 \div 56}{168 \div 56} = \frac{5}{3} \] অতএব, \[ \boxed{a = \frac{5}{3}} \] উত্তর: \[ \boxed{\frac{5}{3}} \]