যদি, y=1-x-x^2/(2!)-x^3/(3!)+....∞

 z=-y-y^2/(2)-y^3/(3)-y^4/4....∞

সমাধান:

প্রথমে, \(y\) এর ধারাটি লক্ষ্য করি:

\(y = 1 - x - \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} - ... \infty\)

আমরা জানি \(e^{-x}\) এর ধারাটি হলো:

\(e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ... \infty\)

তাহলে, \(y = e^{-x}\) হবে। 😮

এখন, \(z\) এর ধারাটি দেখি:

\(z = -y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} - \frac{y^4}{4} - ... \infty\)

আমরা জানি \(ln(1+x)\) এর ধারাটি হলো:

\(ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ... \infty\)

তাহলে, \(-ln(1-y) = y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} + \frac{y^4}{4} + ... \infty\)

সুতরাং, \(z = -ln(1-y)\) হবে। 🥰

এখন, \(y = e^{-x}\) এর মান \(z\) এর সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(z = -ln(1-e^{-x})\)

\(-z = ln(1-e^{-x})\)

\(e^{-z} = 1 - e^{-x}\)

\(e^{-x} = 1 - e^{-z}\)

\(-x = ln(1 - e^{-z})\)

\(x = -ln(1 - e^{-z})\)

আমাদের \(z\) কে \(y\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। 🤔

আমরা জানি \(z = -ln(1-y)\)

\(-z = ln(1-y)\)

\(e^{-z} = 1-y\)

\(y = 1-e^{-z}\)

এখন, \(z = -ln(1-y)\) থেকে পাই, \(e^z = \frac{1}{1-y}\)

অতএব, \(y = 1 - e^{-x}\) এবং \(z = -ln(1-e^{-x})\)।

\(e^{-x} = 1 - e^{-z}\)

\(-x = ln(1-e^{-z})\)

\(x = -ln(1-e^{-z})\)

আমরা \(y\) এর মাধ্যমে \(z\) কে প্রকাশ করতে চাই।

আবার, \(z = -ln(1-y)\)

\(-z = ln(1-y)\)

\(e^{-z} = 1-y\)

\(y = 1-e^{-z}\)

এখন, \(z\) কে স্বাধীন চলক ধরে, \(y\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করি:

\(e^z = \frac{1}{1-y}\)

\(1-y = e^{-z}\)

\(y = 1 - e^{-z}\)

তাহলে, \(z = -ln(1-y)\)

\(-z = ln(1-y)\)

\(e^{-z} = 1-y\)

\(\frac{1}{e^z} = 1-y\)

\(e^z = \frac{1}{1-y}\)

উত্তর: \(ln(\frac{1}{1-e^z})\)