Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত:
- একই বিন্দুতে পরিবর্তনশীল কোণে দুইটি বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান \(F_{max} = 17\,N\)
- যখন বল দুটি লম্বভাবে ক্রিয়াশীল হয়, তখন লব্ধির মান হয় \(F_{অক্ষ} = 13\,N\)
ধরা যাক, দুইটি বলের মাশাল \(F_1\) ও \(F_2\), এবং তাদের মধ্যে কোণ \(\theta\)।
প্রথমে, বল দুটি লম্বভাবে ক্রিয়াশীল থাকলে, লব্ধির মান:
\[
F_{L} = F_1 + F_2 = 13\,N
\]
এবং সর্বোচ্চ লব্ধি হয় যখন বল দুটি কোণ \(\theta\) পরিবর্তন করে, তখন:
\[
F_{max} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} = 17\,N
\]
এখন, এই দুই সমীকরণ থেকে \(F_1\) ও \(F_2\) নির্ণয় করি।
প্রথম:
\[
F_1 + F_2 = 13
\]
অর্থাৎ,
\[
F_2 = 13 - F_1
\]
দ্বিতীয়:
\[
17^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta
\]
\[
289 = F_1^2 + (13 - F_1)^2 + 2F_1(13 - F_1) \cos \theta
\]
বর্গের বিস্তার:
\[
289 = F_1^2 + 169 - 26F_1 + F_1^2 + 2F_1(13 - F_1) \cos \theta
\]
সুবিধার্থে:
\[
289 = 2F_1^2 - 26F_1 + 169 + 2F_1(13 - F_1) \cos \theta
\]
উপসর্গ:
\[
289 - 169 = 2F_1^2 - 26F_1 + 2F_1(13 - F_1) \cos \theta
\]
\[
120 = 2F_1^2 - 26F_1 + 2F_1(13 - F_1) \cos \theta
\]
এখন, \(2F_1(13 - F_1) \cos \theta\) অংশটি আলাদা করে লিখি:
\[
2F_1(13 - F_1) \cos \theta = 120 - 2F_1^2 + 26F_1
\]
নির্ণয় করি \(\cos \theta\):
\[
\cos \theta = \frac{120 - 2F_1^2 + 26F_1}{2F_1(13 - F_1)}
\]
অবশ্য, \(\cos \theta\) এর মান সর্বনিম্ন হতে পারে যখন বলের লব্ধির মান সর্বনিম্ন হয়। সর্বনিম্ন লব্ধির মান \(F_{min}\) হবে তখন, যখন \(\cos \theta = -1\) (অর্থাৎ, 180° কোণে) অথবা অন্য কোন মানে, যেখানে এই মান বাস্তব হয়।
তাই, আমরা \(F_1\) এর জন্য এই সমীকরণটি সমাধান করি:
\[
-1 = \frac{120 - 2F_1^2 + 26F_1}{2F_1(13 - F_1)}
\]
এখন, উভয় পাশে সমান করে:
\[
-2F_1(13 - F_1) = 120 - 2F_1^2 + 26F_1
\]
বর্গ করুন:
\[
-2F_1(13 - F_1) = 120 - 2F_1^2 + 26F_1
\]
বিবর:
\[
-2F_1 \times 13 + 2F_1^2 = 120 - 2F_1^2 + 26F_1
\]
এখন, সমীকরণটি লিখি:
\[
-26F_1 + 2F_1^2 = 120 - 2F_1^2 + 26F_1
\]
দুটি পাশে যোগ করি:
\[
-26F_1 + 2F_1^2 + 2F_1^2 - 26F_1 = 120
\]
সুবিধার্থে:
\[
-52F_1 + 4F_1^2 = 120
\]
বহুমূল্য সমাধান:
\[
4F_1^2 - 52F_1 - 120 = 0
\]
অংশ করে সাধারণ গুণন:
\[
F_1^2 - 13F_1 - 30 = 0
\]
এটি একটি কুয়াদ্রাট সমীকরণ:
\[
F_1^2 - 13F_1 - 30 = 0
\]
সমাধান:
\[
F_1 = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \times 1 \times (-30)}}{2}
\]
\[
F_1 = \frac{13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{289}}{2}
\]
\[
F_1 = \frac{13 \pm 17}{2}
\]
অতএব:
\[
F_1 = \frac{13 + 17}{2} = \frac{30}{2} = 15
\]
বা
\[
F_1 = \frac{13 - 17}{2} = \frac{-4}{2} = -2
\]
অপ্রাসঙ্গিক কারণ বলের মান ধনাত্মক হওয়া উচিত, সুতরাং:
\[
F_1 = 15\,N
\]
তাহলে, \(F_2\):
\[
F_2 = 13 - F_1 = 13 - 15 = -2\,N
\]
অর্থাৎ, বলের মান নেতিবাচক হওয়া সম্ভব নয়, তাই প্রথম সমাধান ভুল বা অসম্ভব।
অন্যদিকে, \(\cos \theta = -1\) এর জন্য সর্বনিম্ন লব্ধির মান:
\[
F_{min} = |F_1 - F_2| = |15 - (-2)| = 17\,N
\]
তবে, আমরা লক্ষ্য করছি যে, সর্বনিম্ন লব্ধির মান হবে যখন বলগুলি সমান হবে, অর্থাৎ, কোণ \(\theta = 180^\circ\)।
সুতরাং, সর্বনিম্ন লব্ধির মান:
\[
F_{min} = |F_1 - F_2| = 7\,N
\]
এখানে, কারণ বল দুটি লম্বভাবে ক্রিয়াশীল অবস্থায় লব্ধির মান 13N, অর্থাৎ, বলের মানের মধ্যে পার্থক্য 2N।
তাই, চূড়ান্ত উত্তর হলো:
**উত্তর: 7N**
