5 + 12i এর বর্গমূল কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 5 + 12i \) এর বর্গমূল কত? উত্তর: আমরা ধরি, \( z = a + bi \) যেখানে \( a \) এবং \( b \) বাস্তব সংখ্যা, এবং \( z^2 = 5 + 12i \)। অর্থাৎ, \[ (a + bi)^2 = 5 + 12i \] বিস্তৃত করে, \[ a^2 + 2abi - b^2 = 5 + 12i \] অতএব, বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমানুপাতি অনুযায়ী, \[ a^2 - b^2 = 5 \quad \text{(1)} \] \[ 2ab = 12 \Rightarrow ab = 6 \quad \text{(2)} \] এখন, \( b = \frac{6}{a} \) (যেহেতু \( a \neq 0 \)), এই মানটি (2) থেকে। প্রতিস্থাপন করি (1)-এ: \[ a^2 - \left(\frac{6}{a}\right)^2 = 5 \] \[ a^2 - \frac{36}{a^2} = 5 \] মাল্টিপ্লাই করি \( a^2 \)-এ: \[ a^4 - 36 = 5a^2 \] অর্থাৎ, \[ a^4 - 5a^2 - 36 = 0 \] প্রতিস্থাপন করি \( x = a^2 \): \[ x^2 - 5x - 36 = 0 \] এখন, এই কোয়াড্রাটিক সমাধান করি: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-36)}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm 13}{2} \] অর্থাৎ, \[ x_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] \( a^2 \) ধনাত্মক হওয়া উচিত, তাই, \[ a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3 \] এখন, \( b = \frac{6}{a} \), \[ \text{যেহেতু, } a = 3 \Rightarrow b = \frac{6}{3} = 2 \] অথবা, \[ a = -3 \Rightarrow b = \frac{6}{-3} = -2 \] অতএব, দুটি সমাধান: \[ z_1 = 3 + 2i \] \[ z_2 = -3 - 2i \] সুতরাং, \( 5 + 12i \) এর বর্গমূল হল: \(\pm (3 + 2i)\) উত্তর: ```html \pm (3 + 2i) ```