\( \int_{0}^{\pi/4} 4 \tan^3 x \sec^2 x \, dx \) এর মান কত?

Explanation: Hints: \( \tan x\) এর অন্তর্গত \(\sec^2 x\), যা ফাংশনের সাথে গুণকারে বিদ্যমান। Solve: \(\int_{0}^{\pi/4} 4\tan^3x\sec^2x \, dx\) ধরি, \(\tan x = z \implies \sec^2x dx = dz\) যখন, \(x = 0, \, তখন z = 0\) যখন, \(x = \pi/4, \, তখন z = 1\) \[ \int_{0}^{1} 4z^3 dz = 4 \int_{0}^{1} z^3 dz = 4 \left[\frac{z^4}{4}\right]_0^{1} = 4 \cdot \frac{1^4}{4} = 1 \] Ans. (B) ব্যাখ্যা: প্রশ্নটির integrand টি হচ্ছে \(4\tan^3x\sec^2x\)। দেখা করে দেখা, \(\tan x\) কে অন্তর্গত করলে যা পাওয়া যায়, সেটা শুধুমাত্র \(\tan x\) এর সাথে গুণকারে বিদ্যমান। তাই ফাংশনের অন্তর্গত ফাংশনের সাথে গুণকারে বিদ্যমান, সেই ফাংশনকে কিছু একটা ধরে নিতে পারবে। এখানে \(\tan x\) এর অন্তর্গত \(\sec^2 x\) বিদ্যমান, সেজন্য \(\tan x\) কে \(z\) ধরা হয়েছে। By Calculator: ক্যালকুলেটরের integration বাটন চেপে থাকুন। ফাংশনটি input দিন। লিমিট বসান \(0\) থেকে \(\pi/4\)। তারপর equal বাটন চাপুন, দেখবেন result এসেছে \(1\)। [ক্যালকুলেটরের সকল ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ক্যালকুলেটরের মাধ্যমে solve করার সময় ক্যালকুলেটর radian মোডে রাখতে হবে।]

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{\pi/4} 4 \tan^3 x \sec^2 x \, dx \) এর মান কত?

সমাধান:

ধরি, \( u = \tan x \). তাহলে, \( \frac{du}{dx} = \sec^2 x \), সুতরাং \( du = \sec^2 x \, dx \).

এখন, যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \tan 0 = 0 \). এবং যখন \( x = \frac{\pi}{4} \), তখন \( u = \tan \frac{\pi}{4} = 1 \).

অতএব, ইন্টিগ্রালটি \( u \) এর সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:

\( \int_{0}^{\pi/4} 4 \tan^3 x \sec^2 x \, dx = \int_{0}^{1} 4u^3 \, du \)

এখন, আমরা ইন্টিগ্রেশন করি:

\( \int_{0}^{1} 4u^3 \, du = 4 \int_{0}^{1} u^3 \, du = 4 \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = 4 \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = 4 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 \)

সুতরাং, \( \int_{0}^{\pi/4} 4 \tan^3 x \sec^2 x \, dx = 1 \).

উত্তর: 1 🎉

```