\( \int e^x (\sec x + \sec x \tan x) dx \) এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \int e^x (\sec x + \sec x \tan x) \, dx \)

সমাধান:
প্রথমত, ইন্টিগ্রালটি লিখি:
\( \int e^x (\sec x + \sec x \tan x) \, dx \)

বিচ্ছিন্ন অংশগুলো একত্র করি:
\( \int e^x \sec x (1 + \tan x) \, dx \)

নোট: \( \frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x \)

এবং,
\( \frac{d}{dx} (\sec x + 1) = \sec x \tan x \)

অতএব, \( 1 + \tan x \) এর ডেরিভেটিভ হলো \( \sec x \tan x \), যা আমাদের মূলের অংশের সঙ্গে সম্পর্কিত।

এখন, সুতরাং, \( e^x \sec x (1 + \tan x) \) এর ইন্টিগ্রাল সহজে নিম্নলিখিত রূপে লেখা যায়:
\( \int e^x \sec x (1 + \tan x) \, dx \)

এখন, \( u = 1 + \tan x \)

তাহলে,
\( du/dx = \sec^2 x \)

কিন্তু আমাদের মূলের মধ্যে \( \sec x \) রয়েছে, তাই পুরো ইন্টিগ্রালটি rewrite করি:

নির্দেশনা:
\( \int e^x \sec x (1 + \tan x) \, dx \)

এখানে, মনে হয় যে আপনি \( \sec x \) ও \( \tan x \) সম্পর্কের জন্য পরিচিত, এবং এই ইন্টিগ্রালটির সমাধান সরাসরি \( e^x \sec x + C \) হিসেবে পাওয়া যায়, কারণ:

সাধারণত, যদি \( \frac{d}{dx} (e^x \sec x) \) গণনা করি:

\( \frac{d}{dx} (e^x \sec x) = e^x \sec x + e^x \sec x \tan x = e^x \sec x (1 + \tan x) \)

এবং এই ডেরিভেটিভটি আমাদের মূল ইন্টিগ্??ালের সমান।

অতএব,

\[
\int e^x (\sec x + \sec x \tan x) \, dx = e^x \sec x + C
\]

উত্তর:
\( \boxed{ e^x \sec x + C } \)