\( \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} dx \) এর মান কোনটি?

প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হল:

\[ I = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} \, dx \]

ধরি,

\[ t = \tan^{-1} x \]

অর্থাৎ,

\[ x = \tan t \]

এবং,

\[ dx = \sec^2 t \, dt \]

সীমা পরিবর্তন করিঃ যখন \( x = 0 \), তখন \( t = \tan^{-1} 0 = 0 \)।

যখন \( x = 1 \), তখন \( t = \tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4} \)।

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়:

\[ I = \int_{t=0}^{t=\pi/4} \frac{t}{1 + \tan^2 t} \cdot \sec^2 t \, dt \]

আসুন দেখিঃ

\[ 1 + \tan^2 t = \sec^2 t \]

অর্থাৎ,

\[ \frac{\sec^2 t}{1 + \tan^2 t} = \frac{\sec^2 t}{\sec^2 t} = 1 \]

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি সহজ হয়ে যায়:

\[ I = \int_{0}^{\pi/4} t \, dt \]

এটি সরাসরি সমাধান করুন:

\[ I = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{32} \]

অতএব, উত্তর হলোঃ

\[ \boxed{\frac{\pi^2}{32}} \]