f(x)=sinx হলে -

1. f"(2x)=2cos2x
2.  intf(π/2-x)dx=sinx
3.  int_0^(π/4)f(2x)dx=1/2

নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

তালিকা অনুযায়ী বিবেচনা:

1. \(f''(2x) = 2 \cos 2x\)
   তত্ত্ব:
   প্রথমে, \(f(x) = \sin x\) হলে,
   এর দ্বিতীয় অমসৃণ (derivative):
   \(\quad f'(x) = \cos x\)
   \(\quad f''(x) = -\sin x\)
   তাহলে,
   \(\quad f''(2x) = -\sin 2x\)
   তাই, প্রথম বিবৃতি ভুল।
2. \(\int (\pi/2 - x) dx = \sin x\)
   সমাধান:
   \int (\pi/2 - x) dx = \int \pi/2 dx - \int x dx
   = (\pi/2) x - \frac{x^2}{2} + C \)
   অর্থাৎ, এই সমাধানটি \(\sin x\) সমান নয়।
   অতএব, দ্বিতীয় বিবৃতি ভুল।
3. \(\int_0^{\pi/4} f(2x) dx = 1/2\)
   সমাধান:
   প্রথমে, \(f(2x) = \sin 2x\)
   এই ইন্টেগ্রালটি পরিবর্তনশীলের উপর ভিত্তি করে:
   \quad \(u = 2x \Rightarrow du = 2 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}\)
   সীমা পরিবর্তন: যখন \(x=0\), তখন \(u=0\); যখন \(x=\pi/4\), তখন \(u=\pi/2\)
   সুতরাং,
   \(\int_0^{\pi/4} \sin 2x dx = \int_0^{\pi/2} \sin u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin u du\)
   \(\quad = \frac{1}{2} [-\cos u]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} [(-\cos \pi/2) - (-\cos 0)] = \frac{1}{2} [0 - (-1)] = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}\)
   অর্থাৎ, তৃতীয় বিবৃতি সঠিক।

উত্তর:

তালিকার দ্বিতীয় ও তৃতীয় বিবৃতি সঠিক।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো: "ii ও iii"