int_0^(π/2)sin^8θcosθdθ এর মান—
সঠিক উত্তরঃ
A.
1/9
Another Explanation (5):
প্রশ্ন: \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^8 \theta \cos \theta\, d\theta\)
সমাধান:
আমরা এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করতে পারি সাবস্টিটিউশনের মাধ্যমে। প্রথমে, \(\displaystyle u = \sin \theta\), তাহলে, \(\displaystyle du = \cos \theta\, d\theta\)।
সুতরাং, যখন \(\theta = 0\), তখন \(u = \sin 0 = 0\), এবং যখন \(\theta = \frac{\pi}{2}\), তখন \(u = \sin \frac{\pi}{2} = 1\)।
এখন, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তর হবে:
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^8 \theta \cos \theta\, d\theta = \int_0^1 u^8\, du \]এটি সহজ একটি পাউসন ইন্টিগ্রাল:
\[ \int u^8\, du = \frac{u^9}{9} + C \]তাই, সীমাবদ্ধ ইন্টিগ্রালটি হবে:
\[ \left[ \frac{u^9}{9} \right]_0^1 = \frac{1^9}{9} - \frac{0^9}{9} = \frac{1}{9} \]অতএব, উত্তর হলো: \(\displaystyle \frac{1}{9}\).