∫π/2 (1 + sin x)^2 cos x dx = ?

প্রদত্ত সমীকরণ হলোঃ

\[ \int_{\pi/2} (1 + \sin x)^2 \cos x\, dx \]

প্রথমে, আমরা উপরের ইন্টিগ্রালটির জন্য একটি উপযুক্ত সাবস্টিটিউশন নিই। মনে করি:

\[ u = 1 + \sin x \]

অতঃ,

\[ du = \cos x\, dx \]

এবং যখন \( x = \pi/2 \), তখন

\[ u = 1 + \sin (\pi/2) = 1 + 1 = 2 \]

অবশ্যই, যখন \( x \) পরিবর্তিত হয়, তখন \( u \) পরিবর্তিত হয়।

তাই, ইন্টিগ্রালটি এখন হয়ে যায়:

\[ \int_{u=2}^{u=1 + \sin x} u^2\, du \]

তবে, আমাদের মনে রাখতে হবে যে, \( du = \cos x\, dx \), তাই:

\[ \int_{x=\pi/2}^{x} (1 + \sin x)^2 \cos x\, dx = \int_{u=2}^{u=1 + \sin x} u^2\, du \]

এখন, আমরা ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:

\[ \int u^2\, du = \frac{u^3}{3} + C \]

অতএব,

\[ \int_{u=2}^{u=1 + \sin x} u^2\, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{u=2}^{u=1 + \sin x} = \frac{(1 + \sin x)^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{(1 + \sin x)^3 - 8}{3} \]

এখন, নির্ণয় করতে হবে যখন \( x = \pi/2 \):

\[ \sin (\pi/2) = 1 \]

অতএব,

\[ \text{value} = \frac{(1 + 1)^3 - 8}{3} = \frac{2^3 - 8}{3} = \frac{8 - 8}{3} = 0 \]

আর যখন \( x \) পরিবর্তিত হয়, তবে আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে, ইন্টিগ্রালটি মূলত \( x = 0 \) থেকে \( x = \pi/2 \) নয়, বরং সীমা হলো \( \pi/2 \) থেকে।

সুতরাং, সমাধানটি হল:

প্রথমত, ইন্টিগ্রালটি নির্ণয় করা হয়েছে:

\[ \int (1 + \sin x)^2 \cos x\, dx = \frac{(1 + \sin x)^3 - 8}{3} + C \]

অতএব, নির্দিষ্ট সীমার জন্য:

\[ \int_{\pi/2} (1 + \sin x)^2 \cos x\, dx = \left[ \frac{(1 + \sin x)^3 - 8}{3} \right]_{x=\pi/2}^{x=a} \]

যেখানে, \( a \) হলো অন্য সীমা। তবে, প্রশ্নের মধ্যে সীমা উল্লেখ নেই, তবে সাধারণত, সীমা হলো \( \pi/2 \) থেকে শূন্য বা অন্য কোনো মান।

তবে, যদি প্রশ্নে নির্দেশ থাকে যে, সীমা হলো \( \pi/2 \) থেকে শূন্য, তাহলে:

\[ \int_{\pi/2}^0 (1 + \sin x)^2 \cos x\, dx \]

অথবা, মূলত, সমাধান হিসেবে, নির্ণয় করা হয়:

যেহেতু, এই ইন্টিগ্রালটি মূলত সমাধান হলো:

\[ \frac{(1 + \sin x)^3 - 8}{3} \]

এবং, সীমা অনুযায়ী মান নির্ণয় করলে, ফলাফল হবে:

\( -\frac{7}{3} \)

অতএব, উত্তর হলো: -7/3