\( \int \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} dx = ? \)

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া ইন্টেগ্রালটি হলো:

\[ \int \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} \, dx \]

ধাপ ১: ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করে

\(\cos 2x\) এর জন্য পরিচিতি: \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] অথবা, \[ 1 + \cos 2x = 1 + (2 \cos^2 x - 1) = 2 \cos^2 x \] এবং, \[ 1 - \cos 2x = 1 - (2 \cos^2 x - 1) = 2 - 2 \cos^2 x = 2 (1 - \cos^2 x) = 2 \sin^2 x \] সুতরাং, \[ \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2 \sin^2 x}{2 \cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x \]

ধাপ ২: ইন্টেগ্রালটি রূপান্তর

অতএব, \[ \int \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} \, dx = \int \tan^2 x \, dx \]

ধাপ ৩: \(\tan^2 x\) এর ইন্টেগ্রাল

জানা আছে: \[ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \] অতএব, \[ \int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx \] \[ = \tan x - x + C \]

উপসংহার:

অতএব, \[ \boxed{\int \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} \, dx = \tan x - x + C} \]