int_0^1sin^(-1)xdx  এর মান কোনটি? 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \(I = \int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx\) এখানে, আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) ব্যবহার করব। ফর্মুলা: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\) আমরা \(u = \sin^{-1} x\) এবং \(dv = dx\) ধরব। তাহলে, \(du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx\) এবং \(v = x\) এখন, \(I = \int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx = \left[ x \sin^{-1} x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx\) প্রথম অংশটি মূল্যায়ন করি: \(\left[ x \sin^{-1} x \right]_{0}^{1} = (1 \cdot \sin^{-1} 1) - (0 \cdot \sin^{-1} 0) = \sin^{-1} 1 = \frac{\pi}{2}\) দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি: \(I_1 = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx\) ধরি, \(1-x^2 = t\) তাহলে, \(-2x \, dx = dt \implies x \, dx = -\frac{1}{2} dt\) যখন \(x = 0\), তখন \(t = 1\) এবং যখন \(x = 1\), তখন \(t = 0\) সুতরাং, \(I_1 = \int_{1}^{0} \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{-1/2} dt\) \(I_1 = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{1/2}}{1/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \left[ \sqrt{t} \right]_{0}^{1} = \left[ \sqrt{1} - \sqrt{0} \right] = 1\) এখন, \(I\) এর মান বসাই: \(I = \frac{\pi}{2} - 1\) অতএব, \(\int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1\) 🥳