সমাধান:
আমরা ইন্টিগ্রালটি সমাধান করব:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \sin 2x} \, dx
\]
প্রথমে, \(\sin 2x\) এর জন্য উপযুক্ত পরিচিতি ব্যবহার করি:
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
তবে, এখানে একটি সহজ উপায় হল ট্রিগোনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করে, কারণ:
\[ 1 + \sin 2x = 1 + 2 \sin x \cos x \] অথবা, \(\sin 2x\) এর বিকল্প রূপ ব্যবহার করে:\[ 1 + \sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 \]এটি সত্য কারণ:
\[ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x \]অতএব, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তরিত হয়:
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x + \cos x| \, dx \] কারণ, মূল বিন্যাসের জন্য, \(\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|\)এখন, যেহেতু \(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\), সেক্ষেত্রে \(\sin x \geq 0\) ও \(\cos x \geq 0\), তাই:
\[ \sin x + \cos x \geq 0 \] অতএব, ইন্টিগ্রালটি সহজ হবে:\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) \, dx \]এখন, ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx \] প্রতিটি ইন্টিগ্রাল আলাদা করে সমাধান করি: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \] অতএব, \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) = (0) - (-1) = 1 \]\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1 \] সুতরাং, সমাধান হবে: \[ 1 + 1 = 2 \]