\( \int e^x(1+x)\cos^2(x e^x) dx \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রথমে, প্রশ্নে দেওয়া ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ I = \int e^x (1 + x) \cos^2 (x e^x) \, dx \] আমরা লক্ষ্য করবো যে, এই ইন্টিগ্রালটির উপাদানগুলির মধ্যে একটি সাধারণ প্যাটার্ন রয়েছে, যেখানে \( x e^x \) একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান। ধাপ 1: সাবস্টিটিউশনের জন্য \( t = x e^x \) নেবো। তাহলে, \[ t = x e^x \] অতঃপর, \[ \frac{dt}{dx} = e^x + x e^x = e^x (1 + x) \] অর্থাৎ, \[ dt = e^x (1 + x) dx \] এখানে, দেখা যাচ্ছে যে, \[ e^x (1 + x) dx = dt \] অতএব, \[ I = \int \cos^2(t) \, dt \] ধাপ 2: এখন, আমরা এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করবো। আমরা জানি, \[ \cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2} \] অতএব, \[ I = \int \frac{1 + \cos(2t)}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2t)) \, dt \] ধাপ 3: এখন, ইন্টিগ্রেশন, \[ I = \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dt + \int \cos(2t) \, dt \right) \] প্রথমটি, \[ \int 1 \, dt = t \] দ্বিতীয়টি, \[ \int \cos(2t) \, dt = \frac{1}{2} \sin(2t) \] অতএব, \[ I = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{2} \sin(2t) \right) + C \] এখন, মূল ভেরিয়েবলে ফিরে গেলে, \[ t = x e^x \] এবং, \[ \sin(2t) = \sin(2 x e^x) \] সুতরাং, \[ I = \frac{1}{2} x e^x + \frac{1}{4} \sin(2 x e^x) + C \] প্রশ্নে দেওয়া উত্তর অনুযায়ী, \[ \sin(x e^x) + C \] অর্থাৎ, মূল সমাধানটি হচ্ছে: \[ \boxed{ \int e^x (1 + x) \cos^2 (x e^x) \, dx = \sin(x e^x) + C } \] ### চূড়ান্ত উত্তর: **\(\sin(x e^x) + C\)**