যেকোনো ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্ন: যেকোনো ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

উত্তর: \( c = a \cos B + b \cos A \)

ব্যাখ্যা:

প্রথমে, আমরা ট্রিগোনোমেট্রিক সম্পর্ক ও কৌসিং সূত্র ব্যবহার করব। ত্রিভুজ ABC এর পাশে লম্বগুলো হলো \( a, b, c \), যেখানে:

• Opposite to angle \( A \) is side \( a \)
• Opposite to angle \( B \) is side \( b \)
• Opposite to angle \( C \) is side \( c \)

কৌসিং সূত্র অনুযায়ী:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)

অর্থাৎ,

\( c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos C} \)

এখন, কৌসিং সূত্রে পরিবর্তন করে, \( c \) এর জন্য একটি সমীকরণ খুঁজে বের করতে চাই, যেখানে \( c \) এর সমীকরণে \(\cos A \) ও \(\cos B \) ব্যবহার হবে।

প্রথমে, ট্রিগোনোমেট্রিক সম্পর্কের জন্য, সাইন ও কসাইন সূত্র ব্যবহার করে:

অভিমুখী কোণের জন্য, আমরা জানি:

• \( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)
• \( \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \)

এখন, এই সমীকরণ থেকে \( a \cos B \) ও \( b \cos A \) বের করি:

১. \( a \cos B = a \times \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c} \)

২. \( b \cos A = b \times \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c} \)

তাহলে, যোগ করলে:

\[ a \cos B + b \cos A = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c} + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c} = \frac{(a^2 + c^2 - b^2) + (b^2 + c^2 - a^2)}{2c} \]

সরলীকরণ:

\[ a \cos B + b \cos A = \frac{a^2 + c^2 - b^2 + b^2 + c^2 - a^2}{2c} = \frac{2c^2}{2c} = c \]

অতএব,

প্রমাণ হলো যে:

\( c = a \cos B + b \cos A \)