tanθ=1/2 হলে sin2θ এর মান কোনটি?

প্রশ্নঃ

tanθ = 1/2 হলে sin2θ এর মান কোনটি?

সমাধানঃ

প্রথমে, আমাদের দেওয়া আছে:

\( \tan \theta = \frac{1}{2} \)

তাহলে, আমরা জানি:

\( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)

অর্থাৎ:

\( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{2} \)

যেহেতু, \(\sin \theta\) এবং \(\cos \theta\) এর মধ্যে সম্পর্ক আছে, আসুন ধরি:

\( \sin \theta = x \)

\( \cos \theta = y \)

তাহলে:

\( \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2} y \)

এখন, পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী:

\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)

অর্থাৎ:

\( x^2 + y^2 = 1 \)

ব্যবহার করি \( x = \frac{1}{2} y \):

\left( \frac{1}{2} y \right)^2 + y^2 = 1

এখানে,

\frac{1}{4} y^2 + y^2 = 1

অর্থাৎ,

\left( \frac{1}{4} + 1 \right) y^2 = 1

বা,

\frac{5}{4} y^2 = 1

অতএব,

y^2 = \frac{4}{5}

সুতরাং,

y = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}

এবং,

x = \frac{1}{2} y = \pm \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}

তাহলে, \(\sin \theta = x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}\) এবং \(\cos \theta = y = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}\)।

এখন, \(\sin 2\theta\) এর মান নির্ণয় করুন:

আমরা জানি:

\( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \)

অতএব,

\sin 2\theta = 2 \times \left( \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \times \left( \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \right)

উল্লেখ্য, চিহ্নের উপর নির্ভর করে, কারণ দুটির চিহ্ন একই বা ভিন্ন হতে পারে। তবে, চিহ্নের গুণফল ধরা হলে:

\(\pm \times \pm = +\) বা \(- \times - = +\)

অর্থাৎ, \(\sin 2\theta\) এর মান ধনাত্মক হবে।

\sin 2\theta = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}

অতএব, উত্তরঃ

\(\boxed{\frac{4}{5}}\)