\(8 \sin^4\left( \frac{\theta}{2} \right) - 8 \sin^2\left( \frac{\theta}{2} \right) + 1\) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(8 \sin^4\left( \frac{\theta}{2} \right) - 8 \sin^2\left( \frac{\theta}{2} \right) + 1\) এর মান কত? সমাধান: প্রথমে, চলক হিসেবে \(x = \sin^2\left( \frac{\theta}{2} \right)\) ধরি। তাহলে, \[ 8x^2 - 8x + 1 \] এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এখন, এই সমীকরণকে সমাধান করি। দ্বিঘাত সমীকরণ: \[ 8x^2 - 8x + 1 = 0 \] এটির সমাধান করতে, \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] এখানে, \(a=8\), \(b=-8\), \(c=1\) অতএব, \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \times 8 \times 1}}{2 \times 8} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{16} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{16} \] \[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4 \sqrt{2} \] অতএব, \[ x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{16} = \frac{8}{16} \pm \frac{4 \sqrt{2}}{16} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{4} \] অর্থাৎ, \[ x_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ x_2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} \] এখন, মনে রাখতে হবে যে, \[ x = \sin^2\left( \frac{\theta}{2} \right) \] এবং আমরা জানি, \[ \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \] এবং, \[ \sin^2 \theta = 4 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) \left( 1 - \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) \right) \] যেহেতু, \[ \sin^2 \theta = 4x(1 - x) \] তাহলে, \[ \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - 4x(1 - x) \] সুতরাং, \[ \boxed{ 8x^2 - 8x + 1 = \cos^2 \theta } \] এখানে, যেহেতু \(x\) হলো \(\sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)\), এবং মূল সমীকরণের মান \(\cos^2 \theta\) এর সমান।