\( \tan\theta + \sec\theta =x \) হলে, \( \csc\theta \)- এর মান কত?
DUUnit-Aউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Topic Practice)DU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
A.
\( \frac{x^2+1}{x^2-1} \)
Another Explanation (5):
প্রশ্ন: যদি \( \tan\theta + \sec\theta = x \) হয়, তবে \( \csc\theta \)-এর মান কত?
সমাধান:
আমরা প্রথমে লক্ষ্য করবো যে, \( \tan\theta + \sec\theta \) এর মান দিয়ে \( \csc\theta \) এর মান নির্ণয় করতে পারি।
প্রথমে, \( \tan\theta + \sec\theta \) এর স্কোয়ার নিই:
\( (\tan\theta + \sec\theta)^2 = x^2 \)
এখন, বর্গের বিস্তৃতি অনুযায়ী,
\( \tan^2\theta + 2 \tan\theta \sec\theta + \sec^2\theta = x^2 \)আমরা জানি,
\( \sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta \)অতএব, উপরের সমীকরণে, আমরা \( \sec^2\theta \) এর স্থানান্তর করব:
\( \tan^2\theta + 2 \tan\theta \sec\theta + 1 + \tan^2\theta = x^2 \)এটি সরল করলে,
\( 2 \tan^2\theta + 2 \tan\theta \sec\theta + 1 = x^2 \)এখন, \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) এবং \( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \) হওয়ায়,
\( \tan\theta \sec\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \times \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} \)
অথবা, আমরা সরাসরি \( \tan\theta \) ও \( \sec\theta \) এর সম্পর্কের মাধ্যমে কাজ করব। তবে, আরও সরাসরি উপায় হল, \( \tan\theta + \sec\theta = x \) থেকে \( \tan\theta \) ও \( \sec\theta \) এর সম্পর্ক ব্যবহার করা।
আমরা জানি,
\( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \)
এবং, \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \), তাই,
\( \tan\theta + \sec\theta = \frac{\sin\theta + 1}{\cos\theta} = x \)
অর্থাৎ,
\( \sin\theta + 1 = x \cos\theta \)এবং,
\( \sin\theta = x \cos\theta - 1 \)এখন, \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \), তাই,
\( (x \cos\theta - 1)^2 + \cos^2\theta = 1 \)বিস্তৃতি করে,
\( x^2 \cos^2\theta - 2x \cos\theta + 1 + \cos^2\theta = 1 \)সরাসরি, দুই পাশে 1 বাদ দিলে,
\( x^2 \cos^2\theta - 2x \cos\theta + \cos^2\theta = 0 \)এখন, সমীকরণটি \( \cos\theta \)-এর জন্য রূপান্তর করি:
\( (x^2 + 1) \cos^2\theta - 2x \cos\theta = 0 \)এটি আবার,
\( \cos\theta \left( (x^2 + 1) \cos\theta - 2x \right) = 0 \)অর্থাৎ,
\( \cos\theta = 0 \) বা \( (x^2 + 1) \cos\theta = 2x \)প্রথমটি অপ্রাসঙ্গিক কারণ তখন \( \sec\theta \) অসীম হবে। সুতরাং,
\( \cos\theta = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
এখন, \( \sin\theta \) নির্ণয় করি:
\( \sin\theta = x \cos\theta - 1 = x \times \frac{2x}{x^2 + 1} - 1 = \frac{2x^2}{x^2 + 1} - 1 \)
সাধারিত,
\( \sin\theta = \frac{2x^2 - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \)
এখন, \( \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \), তাই,
\( \csc\theta = \frac{1}{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \)
অতএব, উত্তর হলো:
\( \boxed{\csc\theta = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}} \)