এক খণ্ড রেডনের 60% ক্ষয় হতে কত দিন সময় লাগবে?(রেডনের অর্ধায়ু 3.82 দিন)

Explanation: Hints: \(t = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{N_0}{N}\) \(N_0 =\) প্রাথমিক পরমাণুর সংখ্যা, \(N =\) অবশিষ্ট পরমাণুর সংখ্যা। Solve: আমরা জানি, তেজস্ক্রিয়তার ক্ষয় সূত্র, \(N = N_0 e^{-\lambda t}\) বা, \(\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t}\) বা, \(\ln \frac{N}{N_0} = -\lambda t \, [\text{উভয় পক্ষে ln নিয়ে}]\) বা, \(\ln \frac{N_0}{N} = \lambda t \, [\text{ln} \, \frac{x}{y} = z হলে ln \, \frac{y}{x} = -z]\) অতএব, \(t = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{N_0}{N}\) বা, \(t = \frac{1}{0.693} \ln \frac{100}{40} \, [\text{T}_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}]\) \(\therefore t = 3.82\) দিন Ans. (A)

Another Explanation (5): রেডনের \(60\% \) ক্ষয় হতে কতদিন সময় লাগবে, যেখানে রেডনের অর্ধায়ু \(3.82\) দিন।🤔 ধরি, রেডনের প্রাথমিক পরিমাণ \( N_0 \)। \(t\) সময় পর রেডনের পরিমাণ \(N\)। ক্ষয়ের সূত্রানুসারে, \[ N = N_0 e^{-\lambda t} \] যেখানে, \(\lambda\) হলো decay constant বা ক্ষয় ধ্রুবক। অর্ধায়ু \( T_{1/2} = 3.82 \) দিন। আমরা জানি, \[ \lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{3.82} \] \(60\% \) ক্ষয় হওয়ার পর অবশিষ্ট রেডনের পরিমাণ \( N = N_0 - 0.6 N_0 = 0.4 N_0 \) তাহলে, \[ 0.4 N_0 = N_0 e^{-\lambda t} \] \[ 0.4 = e^{-\lambda t} \] উভয় পক্ষে natural logarithm নিয়ে পাই, \[ \ln(0.4) = -\lambda t \] \[ t = \frac{-\ln(0.4)}{\lambda} = \frac{-\ln(0.4)}{\frac{0.693}{3.82}} \] \[ t = \frac{-\ln(0.4) \times 3.82}{0.693} \] \[ t = \frac{-(-0.9163) \times 3.82}{0.693} \] \[ t = \frac{0.9163 \times 3.82}{0.693} \] \[ t = \frac{3.4992}{0.693} \approx 5.05 \approx 5 \text{ দিন} \] সুতরাং, রেডনের \(60\% \) ক্ষয় হতে প্রায় \(5\) দিন সময় লাগবে।🎉