একটি তেজস্ক্রিয় নমুনার ভর 10 gm এবং অর্ধায়ু 5 দিন
কত দিনে নমুনাটির 7.5 gm ক্ষয়প্রাপ্ত হবে?
প্রশ্ন অনুযায়ী, একটি তেজস্ক্রিয় নমুনার প্রাথমিক ভর \(m_0 = 10\,g\)। এর অর্ধায়ু সময় \(T_{1/2} = 5\,দিন\)। আমাদের জানতে হবে, কত দিনে নমুনার ভর \(7.5\,g\) হবে।
অর্ধায়ু সময়ের মাধ্যমে আমরা জানি, নমুনার ভর সময়ের সাথে কিভাবে পরিবর্তিত হয় তা নির্ণয় করা যায়। সাধারণত, নমুনার ভর সময়ের সাথে নিম্নলিখিত সম্পর্ক বজায় থাকে:
\[m(t) = m_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]
এখানে, \(m(t)\) হলো সময় \(t\)-এ নমুনার ভর। আমাদের দিতে হয়েছে \(m(t) = 7.5\,g\)।
সুতরাং, সমীকরণ হবে:
\[7.5 = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}}\]
উপভোগ করে,
\[\frac{7.5}{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}}\]
\[\frac{3}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}}\]
অর্থাৎ,
\[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}} = \frac{3}{4}\]
লগারিদম ব্যবহার করে,
\[\frac{t}{5} \times \log{\left(\frac{1}{2}\right)} = \log{\left(\frac{3}{4}\right)}\]
এখানে, \(\log{\left(\frac{1}{2}\right)} = -\log 2\), এবং \(\log{\left(\frac{3}{4}\right)} = \log 3 - \log 4\)।
তাই,
\[\frac{t}{5} = \frac{\log{\left(\frac{3}{4}\right)}}{\log{\left(\frac{1}{2}\right)}} = \frac{\log 3 - \log 4}{-\log 2}\]
এবং, \(\log 4 = 2 \log 2\), ফলে,
\[\frac{t}{5} = \frac{\log 3 - 2 \log 2}{-\log 2}\]
অতএব,
\[t = 5 \times \frac{\log 3 - 2 \log 2}{-\log 2}\]
লগারিদমের মান অনুযায়ী, \(\log 2 \approx 0.3010\), \(\log 3 \approx 0.4771\), তাহলে:
\[t = 5 \times \frac{0.4771 - 2 \times 0.3010}{-0.3010}\]
\[t = 5 \times \frac{0.4771 - 0.6020}{-0.3010}\]
\[t = 5 \times \frac{-0.1249}{-0.3010}\]
\[t \approx 5 \times 0.415\]
\[t \approx 2.075\,দিন\]