i²  = -1 এবং  omega^3 =1 হলে-

1.  i^(4n+3) = -i, n in NN 
2.  omega^48 = i^100
3.  omega^(12n) + 1 = 2, n in NN 

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া তথ্যগুলো হলো: 1. \( i^2 = -1 \) 2. \( \omega^3 = 1 \) এবং আমাদের তিনটি বিবৃতি যাচাই করতে হবে: (i) \( i^{4n+3} = -i \), যেখানে \( n \in \mathbb{N} \) (ii) \( \omega^{48} = i^{100} \) (iii) \( \omega^{12n} + 1 = 2 \), যেখানে \( n \in \mathbb{N} \) --- ### বিশ্লেষণ: #### 1. বিবৃতি (i): \( i^{4n+3} = -i \) প্রথমে, \( i^k \) এর মান নির্ণয় করি: উল্লেখ্য, \( i^1 = i \), \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \), \( i^4 = 1 \) এবং এই প্যাটার্ন পুনরাবৃত্তি হয় \( 4 \)-এর গুণফলে। অতএব, \[ i^{4n+3} = i^{4n} \times i^{3} \] যেহেতু \( i^{4n} = (i^4)^n = 1^n = 1 \), তাই, \[ i^{4n+3} = 1 \times i^{3} = i^3 = -i \] অতএব, **বিবৃতি (i) সত্য**। --- #### 2. বিবৃতি (ii): \( \omega^{48} = i^{100} \) প্রথমে, \( \omega^3 = 1 \), অর্থাৎ, \( \omega \) হল ত্রিভুজীয় মূল। অর্থাৎ, \[ \omega^{3} = 1 \] এবং, \( \omega^{k} \) এর মান নির্ণয় করতে হলে, \[ \omega^{k} = \omega^{k \bmod 3} \] অতএব, \[ \omega^{48} = \omega^{48 \bmod 3} = \omega^{0} = 1 \] এবং, \[ i^{100} = (i^{4})^{25} = 1^{25} = 1 \] অতএব, \[ \omega^{48} = 1 \quad এবং \quad i^{100} = 1 \] এখানে, তারা সমান। **অর্থাৎ বিবৃতি (ii) সত্য**। --- #### 3. বিবৃতি (iii): \( \omega^{12n} + 1 = 2 \) এখানে, \[ \omega^{12n} \] এবং, \[ \omega^3 = 1 \] অতএব, \[ \omega^{12n} = (\omega^3)^{4n} = 1^{4n} = 1 \] অতএব, \[ \omega^{12n} + 1 = 1 + 1 = 2 \] সুতরাং, **বিবৃতি (iii) সত্য**। --- ### **উপসংহার:** সমস্ত তিনটি বিবৃতি সত্য। তাই উত্তর হবে: **"i, ii ও iii"** --- ### **HTML ফর্ম্যাটে সমাধান:** ```html

প্রথমত, আমাদের দেয়া তথ্য অনুযায়ী:

• i² = -1
• ω³ = 1

চলুন প্রতিটি বিবৃতি যাচাই করি:

1. বিবৃতি (i): i⁴ⁿ⁺³ = -i

i^k এর মান নির্ণয় করতে, জানি:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1

অতএব,

i⁴ⁿ⁺³ = i⁴ⁿ × i³ = (i⁴)ⁿ × (-i) = 1ⁿ × (-i) = -i

এটি সত্য।

2. বিবৃতি (ii): ω⁴⁸ = i¹⁰⁰

প্রথমত, ω³ = 1, অর্থাৎ ω হল ত্রিভুজীয় মূল।

অতএব,

ω⁴⁸ = ω^{48 mod 3} = ω⁰ = 1

এবং,

i¹⁰⁰ = (i⁴)²⁵ = 1²⁵ = 1

অতএব, উভয় সমান। এটি সত্য।

3. বিবৃতি (iii): ω¹²ⁿ + 1 = 2

এখানে, ω³ = 1, তাই

ω¹²ⁿ = (ω³)⁴ⁿ = 1⁴ⁿ = 1

অতএব,

ω¹²ⁿ + 1 = 1 + 1 = 2

এটি সত্য।

উপসংহার:

সর্বত্র সব বিবৃতি সত্য, তাই উত্তর হবে:

i, ii ও iii

```