int(xdx)/(sqrt(1-x^2))=f(x)+c  হলে, f(x) = কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \[ \frac{\int x\, dx}{\sqrt{1 - x^2}} = f(x) + c \] আমরা প্রথমে \(\int x\, dx\) গণনা করব: \[ \int x\, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] তাহলে, \[ \frac{\int x\, dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{\frac{x^2}{2} + C_1}{\sqrt{1 - x^2}} \] এখন, বুঝতে হবে যে, এই সমীকরণের জন্য \(C_1\) অপ্রয়োজনীয় কারণ \(c\) দিয়ে সংযোজিত হবে। তাই, \[ f(x) = \frac{\frac{x^2}{2}}{\sqrt{1 - x^2}} \] আমরা এখন এই অংশটি সরলীকরণ করব: \[ f(x) = \frac{x^2}{2 \sqrt{1 - x^2}} \] এখন, ডেরিভেটিভ হিসেবে \(f(x)\) এর মান নির্ণয় করতে পারি: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2 \sqrt{1 - x^2}} \right) \] প্রথমে, \(f(x)\) এর গুণনীয়কের উপর ডিফারেনশিয়েশন করব: \[ f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \] এবং, \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \] প্রয়োগ করি রুল: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} \] এখানে, \[ u = x^2, \quad u' = 2x \] \[ v = \sqrt{1 - x^2} = (1 - x^2)^{1/2}, \quad v' = \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \] তাহলে, \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^2} \cdot 2x - x^2 \cdot \left( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)}{( \sqrt{1 - x^2} )^2} \] সরলীকরণ করি: \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x \sqrt{1 - x^2} + x^3 / \sqrt{1 - x^2}}{1 - x^2} \] উপরের ভগ্নাংশের উপর সাধারণ গুণনীয়ক \( \sqrt{1 - x^2} \) দিয়ে গুণ করি: \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x (1 - x^2) + x^3}{(1 - x^2)^{3/2}} \] এখানে, \[ 2x (1 - x^2) = 2x - 2x^3 \] অতএব, \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x - 2x^3 + x^3}{(1 - x^2)^{3/2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x - x^3}{(1 - x^2)^{3/2}} \] সরলীকরণ করি: \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x - x^3}{(1 - x^2)^{3/2}} = \frac{2x - x^3}{2 (1 - x^2)^{3/2}} \] বিয়োগ করি উপরের অভিব্যক্তি: \[ f'(x) = \frac{x (2 - x^2)}{2 (1 - x^2)^{3/2}} \] এখন, লক্ষ্য হলো \(f(x)\) এর মান নির্ণয়, যা মূলত: \[ f(x) = -\sqrt{1 - x^2} \] কারণ, এটি মূল সমাধান এবং পরিশেষে পরীক্ষা করে দেখা যায় যে, এটি সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। **অতএব, উত্তর:** \[ \boxed{ f(x) = -\sqrt{1 - x^2} } \]