\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 6x dx \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

প্রদত্ত ইন্টিগ্রাল: \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 6x \, dx \)

উত্তরঃ

চলুন ধাপে ধাপে সমাধান করি:

∫ sin 6x dx = - (1/6) cos 6x + C

এখন, সীমা অনুযায়ী নির্ণয় করি:

∫₀^{π/2} sin 6x dx = [ - (1/6) cos 6x ]₀^{π/2}

প্রথমে, উভয় সীমায় মান বসাই:

= - (1/6) cos(6 * π/2) + (1/6) cos(6 * 0)
= - (1/6) cos(3π) + (1/6) cos(0)

এখন, কসমিনের মান নির্ণয় করি: - \( \cos 3\pi = -1 \) - \( \cos 0 = 1 \) অতএব,

= - (1/6) * (-1) + (1/6) * 1
= (1/6) + (1/6)
= 2/6
= 1/3

তাই, মূল ফলাফল হলো: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 6x \, dx = \frac{1}{3} \] **অতএব, সঠিক উত্তর হল:** **\( \boxed{\frac{1}{3}} \)** (উল্লেখ্য যে, প্রদত্ত উত্তরে "\(\frac{5\pi}{32}\)" ভুল। সঠিক উত্তর হলো \(\frac{1}{3}\)।)