যদিint φ(x) dx=ln(lnx)+C হয়, যেখানে C একটি ধ্রুবক, তবে φ(x)=?

প্রশ্নানুসারে, \( \int \phi(x) dx = \ln(\ln x) + C \), যেখানে C একটি ধ্রুবক।

এখন, উভয় দিকে x এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই,

\( \frac{d}{dx} \left( \int \phi(x) dx \right) = \frac{d}{dx} \left( \ln(\ln x) + C \right) \)

আমরা জানি, \( \frac{d}{dx} \left( \int f(x) dx \right) = f(x) \)। সুতরাং,

\( \phi(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(\ln x) \right) + \frac{d}{dx} (C) \)

যেহেতু C একটি ধ্রুবক, \( \frac{d}{dx} (C) = 0 \)।

এখন, \( \frac{d}{dx} \left( \ln(\ln x) \right) \) নির্ণয় করতে হবে। চেইন রুল ব্যবহার করে,

\( \frac{d}{dx} \left( \ln(\ln x) \right) = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{d}{dx} (\ln x) \)

আমরা জানি, \( \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \)। সুতরাং,

\( \frac{d}{dx} \left( \ln(\ln x) \right) = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x} \)

অতএব,

\( \phi(x) = \frac{1}{x \ln x} + 0 = \frac{1}{x \ln x} \)

সুতরাং, \( \phi(x) = \frac{1}{x \ln x} \) 🥳