inta^xdx=(ax)/(lna) হবে যদি-

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a}\) হবে যদি- উত্তর: \(a > 0, a \neq 1\) ধরি, \(I = \int a^x \, dx\) আমরা জানি, \(a^x = e^{x \ln a}\) তাহলে, \[ I = \int e^{x \ln a} \, dx \] এখানে, \(u = x \ln a\), তাহলে, \(du = \ln a \, dx\) অতএব, \[ dx = \frac{du}{\ln a} \] সুতরাং, \[ I = \int e^{u} \cdot \frac{du}{\ln a} = \frac{1}{\ln a} \int e^{u} \, du \] \[ I = \frac{1}{\ln a} e^{u} + C \] উভয় পাশের মূল ভেরিয়েবল \(u = x \ln a\) এ প্রতিস্থাপন করলে, \[ I = \frac{1}{\ln a} e^{x \ln a} + C = \frac{1}{\ln a} \cdot a^x + C \] অতএব, \[ \boxed{\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C} \] এবং এই সমাধান কার্যকর হবে যখন, \[ a > 0 \quad \text{এবং} \quad a \neq 1 \] কারণ, \(\ln a\) এর মান শূন্য হলে বিভাজক শূন্য হতে পারে, যা অপ্রযোজ্য।