\( y = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) কত?

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া হয়েছে:

\( y = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \)

এখন, আমাদের \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, মনে করি:

\( u = \frac{2x}{1 - x^2} \)

তাহলে,

\( y = \tan^{-1}(u) \)

এখন, চেইন রুল অনুযায়ী:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \)

ধাপ ১: \( u \) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয়

উপাদান: \(\displaystyle u = \frac{2x}{1 - x^2}\)

উপপাদান অনুযায়ী, ডিভিশন রুল প্রয়োগ করি:

\( \frac{du}{dx} = \frac{(2) \cdot (1 - x^2) - (2x) \cdot (-2x)}{(1 - x^2)^2} \)

ধাপ ২: ঋণাত্মক লব্ধ অংশের ডেরিভেটিভ

উপরে লিখিত সমীকরণ থেকে, ডান পাশে বিভাজকের জন্য ডে???িভেটিভ:

\( \frac{du}{dx} = \frac{2(1 - x^2) + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \)

সাধারণীকরণ করলে,

\( \frac{du}{dx} = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \)

\( \frac{du}{dx} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \)

উপাদান গুণফল করে লিখি:

\( \frac{du}{dx} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \)

ধাপ ৩: \( u^2 \) এর মান নির্ণয়

\( u = \frac{2x}{1 - x^2} \)

অতএব,

\( u^2 = \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)^2 = \frac{4x^2}{(1 - x^2)^2} \)

ধাপ ৪: ডেরিভেটিভের সমাধান

অতএব,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \)

এখন,

\( 1 + u^2 = 1 + \frac{4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{(1 - x^2)^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \)

ধাপ ৫: ন্যূনতম সাধারণ গুণফল করে সমাধান

নির্ণয় করি:

\( (1 - x^2)^2 + 4x^2 = (1 - 2x^2 + x^4) + 4x^2 = 1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2 \)

\( = 1 + 2x^2 + x^4 \)

এটি একরকম ভাবে লিখতে পারি:

\( (x^2 + 1)^2 \)

ধাপ ৬: চূড়ান্ত সমাধান

অতএব,

\( 1 + u^2 = \frac{(x^2 + 1)^2}{(1 - x^2)^2} \)

তাহলে,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{(x^2 + 1)^2}{(1 - x^2)^2}} \cdot \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \)

সাধারণ গুণফল করে,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{(1 - x^2)^2}{(x^2 + 1)^2} \cdot \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \)

অতএব, \( (1 - x^2)^2 \) কেটে গেলে,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{2(1 + x^2)}{(x^2 + 1)^2} \)

এবং, \( 1 + x^2 \) কে আবার গুণ করলে,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^2 + 1} \)

উত্তর:

\( \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + x^2}} \)