একটি রাবার ব্যাণ্ডকে টেনে x পরিমাণ বৃদ্ধি করলে রাবার ব্যান্ডে সৃষ্ট প্রত্যাবর্তী বল হলো \( F=ax+bx^2 \) (এখানে a এবং b ধ্রুবক)। রবার ব্যান্ডকে \( x=0 \) থেকে \( x=L \) পর্যন্ত প্রসারিত করতে সম্পন্ন কৃতকাজের মাণ কত?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এই প্রশ্নে রাবার ব্যান্ডের প্রসারণের ক্ষেত্রে সৃষ্ট প্রত্যাবর্তী বলের সম্পর্ক দেওয়া হয়েছে \( F = ax + bx^2 \) (যেখানে a এবং b ধ্রুবক)। এখানে রাবার ব্যান্ডকে \( x = 0 \) থেকে \( x = L \) পর্যন্ত প্রসারিত করার জন্য সম্পন্ন কৃতকাজের মান বের করতে হবে। এর জন্য কৃতকাজের সমীকরণ ব্যবহার করা হবে যা \( W = \int_0^L F(x) dx \)। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} \): সঠিক, এটি সমীকরণের মাধ্যমে সঠিকভাবে বের করা যায়। B. \( \frac{aL^2}{2} + 2bL^2 \): ভুল, এই সমীকরণটি ভুল কারণ এখানে \( bL^3 \) নেই। C. \( a + 2bL \): ভুল, এটি কৃতকাজের সমীকরণ নয়। D. \( \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} \): সঠিক, এটি কৃতকাজের সঠিক মান। নোট: এখানে কৃতকাজ বের করার জন্য নির্দিষ্ট সমীকরণ ব্যবহার করা হয়েছে এবং সঠিক উত্তরের জন্য সঠিক বিশ্লেষণ করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

রাবার ব্যান্ডকে x = 0 থেকে x = L পর্যন্ত প্রসারিত করতে কৃতকাজ নির্ণয়:

প্রদত্ত প্রত্যাবর্তী বল, \( F = ax + bx^2 \)

আমরা জানি, কৃতকাজ \( W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx \)

এখানে, \( x_1 = 0 \) এবং \( x_2 = L \)

সুতরাং, \( W = \int_{0}^{L} (ax + bx^2) \, dx \)

এখন, ইন্টিগ্রেশন করে পাই,

\( W = \left[ \frac{ax^2}{2} + \frac{bx^3}{3} \right]_0^L \)

\( W = \left( \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} \right) - \left( \frac{a(0)^2}{2} + \frac{b(0)^3}{3} \right) \)

\( W = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} - 0 \)

\( W = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} \)

অতএব, রাবার ব্যান্ডকে x = 0 থেকে x = L পর্যন্ত প্রসারিত করতে সম্পন্ন কৃতকাজের মান \( \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} \)। 🎉

```