কোনো বিন্দুতে দুইটি বল \( 120^\circ \) কোণে ক্রিয়ারত। বৃহত্তর বলটির মান 10 নিউটন এবং তাদের লব্ধি ক্ষুদ্রতম বলের সাথে সমকোণ উৎপন্ন করলে ক্ষুদ্রতম বলের মান কত?

সমাধান:

ধরা যাক, বৃহত্তর বলটি \(F_1 = 10\,\text{N}\) এবং ক্ষুদ্রতম বলটি \(F_2 = F\)।

দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণ \(120^\circ\)।

তাদের লব্ধি (resultant) বলের মান হবে:

\[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos 120^\circ} \]

কারণ, \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), তাই:

\[ R = \sqrt{(10)^2 + F^2 + 2 \times 10 \times F \times \left(-\frac{1}{2}\right)} \]

এখানে,

\[ R = \sqrt{100 + F^2 - 10F} \]

সর্বনিম্ন লব্ধি বলের জন্য,

আমরা জানি যে, \(R\) এর মান সর্বনিম্ন করতে হলে, \(\sqrt{100 + F^2 - 10F}\) এর অভ্যন্তর অংশটি সর্বনিম্ন করতে হবে।

অর্থাৎ,

\[ f(F) = F^2 - 10F + 100 \]

এটি একটি কোয়াড্রাটিক ফাংশন, এর মান সর্বনিম্ন করার জন্য, এর ডেরিভেটিভ নিন:

\[ \frac{df}{dF} = 2F - 10 \]

সেটি শুণ্য সমান করুন:

\[ 2F - 10 = 0 \Rightarrow F = 5 \]

অতএব, ক্ষুদ্রতম বলের মান হলো:

\(F = 5\,\text{N}\)