\(x > 0, y > 0, x + y < 6, 2x + y < 8\) শর্তসমূহ সাপেক্ষে \(z = 2x + y\) রাশিটির সর্বনিম্ন মান-

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদানকৃত শর্তসমূহ হলো: \[ x > 0, \quad y > 0, \quad x + y < 6, \quad 2x + y < 8 \] আমাদের লক্ষ্য হলো \(z = 2x + y\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করা।

ধাপ ১: সীমাবদ্ধতাগুলি চিহ্নিত করা

সীমাবদ্ধতাগুলি হলো:

1. \(x > 0\)
2. \(y > 0\)
3. \(x + y < 6\)
4. \(2x + y < 8\)

ধাপ ২: সীমান্ত রেখাগুলির উপর বিবেচনা

সীমাবদ্ধতাগুলির সমানুপাতিক রেখাগুলির উপর সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে হবে। প্রথমত, \(z = 2x + y\) এর মান কমানোর জন্য, আমাদের দেখতে হবে কোথায় এটি সর্বনিম্ন হতে পারে, অর্থাৎ, যেখানে এর মান সীমাবদ্ধতার মধ্যে রয়েছে।

ধাপ ৩: সীমাবদ্ধতাগুলির উপর কক্ষপথ নির্ণয়

সীমাবদ্ধতাগুলির মধ্যে, কঠিন সীমা হলো: \[ x + y = 6 \quad \text{(প্রান্তে)} \] \[ 2x + y = 8 \quad \text{(প্রান্তে)} \] আমরা এই লাইন দুটির সাথে ভেক্টর পয়েন্টের মান নির্ণয় করব।

ধাপ ৪: সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মানের জন্য পরীক্ষা

আমাদের লক্ষ্য হলো: \[ z = 2x + y \] এই মানের সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে, আমরা দুই সীমান্ত রেখার সাথে মিলিত পয়েন্টগুলো পরীক্ষা করব।

1. প্রথমে, \(x + y = 6\) রেখার জন্য: \[ y = 6 - x \] অতএব, \[ z = 2x + (6 - x) = 2x + 6 - x = x + 6 \] অর্থাৎ, \(z\) এর মান \(x + 6\)। যেহেতু, \(x > 0\), তাই সর্বনিম্ন মান হবে যখন \(x\) সর্বনিম্ন, অর্থাৎ \(x \to 0^+\)। সুতরাং, এই রেখায় \(z \to 6^+\)।
2. দ্বিতীয়ত, \(2x + y = 8\) রেখার জন্য: \[ y = 8 - 2x \] অতএব, \[ z = 2x + (8 - 2x) = 8 \] এখানে, \(z = 8\), যা সর্বনিম্ন মানের থেকে বেশি।

এখন, উভয় সীমারেখার মধ্যে, সর্বনিম্ন মান হবে যখন \(x \to 0^+\) এবং \(y \to 6^-\)। তাই, এই পয়েন্টে, \(z \to 6^+\)।

ধাপ ৫: চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত

যেহেতু \(z\) এর মান ধ্রুবক নয়, তবে সর্বনিম্ন মানের কাছাকাছি, এবং সীমা অনুযায়ী, \(z\) এর সর্বনিম্ন মান হবে \(\boxed{6}\)।