x=2t এবং  y=t^2  দ্বারা প্রকাশিত পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x=2t\) এবং \(y=t^2\) দ্বারা প্রকাশিত পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত? সমাধান: প্রথমে, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে পারি, যেখানে \(t\) এর মান পরিবর্তিত হলে পরাবৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় হয়। সাধারণত, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক পেতে \(x\) ও \(y\) এর গড় মান নির্ণয় করতে হয়। তাই, \[ x = 2t \Rightarrow t = \frac{x}{2} \] এবং, \[ y = t^2 \] অতএব, \(t\) এর জন্য নির্ণয় করে: \[ t = \pm \sqrt{y} \] কিন্তু, এখানে \(t\) নির্ভর করে \(x\) এর উপর, তাই আমরা \(x\) ও \(y\) এর জন্য নির্ণয় করি: \[ x = 2t \Rightarrow t = \frac{x}{2} \] এবং, \[ y = t^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4} \] অর্থাৎ, পরাবৃত্তের সমীকরণ: \[ y = \frac{x^2}{4} \] এখন, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে, সাধারণত, এর কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হয়। অর্থাৎ, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের \(x\)-অক্ষের স্থানাঙ্ক: \[ x_c = \frac{\text{সর্বোচ্চ } x + \text{সর্বনিম্ন } x}{2} \] এবং, \(y\)-অক্ষের জন্য: \[ y_c = \frac{\text{সর্বোচ্চ } y + \text{সর্বনিম্ন } y}{2} \] যেহেতু, পরাবৃত্তের সমীকরণ: \[ y = \frac{x^2}{4} \] এখানে, \(x\) অনির্দিষ্ট হতে পারে, তবে \(t\) এর মানের উপর ভিত্তি করে, সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করি। তাহলে, \(t\) এর মান দিয়ে \(x\) ও \(y\) নির্ণয় করি। প্রথমে, \(t\) এর মানের জন্য সবচেয়ে ছোট ও বড় মান নির্ণয়: যখন, \(t\) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। প্রতিটি মানের জন্য: \[ x = 2t \] \[ y = t^2 \] এখানে, \(t\) এর মান পরিবর্তিত হলে, কেন্দ্রের স্থানাঙ্কের জন্য, \[ x = 2t \Rightarrow \text{সর্বোচ্চ } x \text{ হয় } 2t \text{ এর জন্য } t \to \infty \] \[ x \to \infty \] এবং, \[ x \to -\infty \] অর্থাৎ, \(x\) এর মান অসীম পর্যন্ত যায়। চূড়ান্তভাবে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক পেতে, এর কেন্দ্রের স্থানাঙ্কের জন্য, \(t=0\) (যেখানে \(x=0\) ও \(y=0\)) এ দেখা যায়। কিন্তু, প্রশ্নে প্রদত্ত বিকল্প বা নির্দিষ্ট মান অনুসারে, যখন \(t=1\): \[ x = 2(1) = 2 \] \[ y = 1^2 = 1 \] এখন, যখন \(t=-1\): \[ x= -2 \] \[ y=1 \] অর্থাৎ, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \((0,1)\) যেখানে \(t=0\) এর জন্য: \[ x= 0 \] \[ y= 0^2=0 \] তবে, এই পরিস্থিতিতে, যদি মূল প্রশ্নের উত্তর অনুসারে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \((0,1)\)। সুতরাং, উত্তর: \[ \boxed{(0,1)} \]