\( y^2 -8x -6y-23 = 0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রে স্থানাঙ্ক কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

দেওয়া সমীকরণঃ

\[ y^2 - 8x - 6y - 23 = 0 \]

প্রথমে, সমীকরণের মাধ্যমে \(x\) এর জন্য প্রকাশ করি:

\[ -8x = - y^2 + 6y + 23 \]

অথবা,

\[ x = \frac{y^2 - 6y - 23}{8} \]

বা, সমীকরণকে সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি:

প্রথমে, \( y^2 - 6y \) কে সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:

\[ y^2 - 6y = y^2 - 6y + 9 - 9 = (y - 3)^2 - 9 \]

অতএব, মূল সমীকরণটি লিখতে পারি: \[ (y - 3)^2 - 9 - 8x - 23 = 0 \] অর্থাৎ, \[ (y - 3)^2 - 8x - 32 = 0 \] এখানে, সমীকরণটি লিখতে পারি: \[ 8x = (y - 3)^2 - 32 \] অথবা, \[ x = \frac{(y - 3)^2 - 32}{8} \]

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের জন্য, সাধারণত আমরা পরাবৃত্তের মানচিত্রের জন্য এর ফর্মুলা ব্যবহার করি।

পরাবৃত্তের সাধারণ রূপ: \[ (y - k)^2 = 4p(x - h) \] যেখানে, \((h, k)\) হলো উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক। আমাদের সমীকরণে, \[ (y - 3)^2 = 8x + 32 \] এখানে, তুলনা করলে, \[ (y - 3)^2 = 4 \times 2 \times (x + 4) \] অর্থাৎ, \[ (y - 3)^2 = 4 \times 2 \times (x + 4) \] এখানে, \[ 4p = 8 \Rightarrow p = 2 \] এবং, \[ h = -4, \quad k = 3 \] অতএব, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো: \[ \boxed{(-4, 3)} \]