x^2/16  +y^2/p বক্ররেখাটি-

1.  (0, 1) বিন্দুগামী হলে p=1
2.  একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করবে যখন p= 0 হবে
3.  একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করবে যখন p<0 হবে

 নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নে দেওয়া বক্ররেখার সমীকরণ হলো:

\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{p} = 1 \]

এটি একটি উপবৃত্ত, হাইপারবোলা, বা এরকম কোনো বক্ররেখা হবে তা নির্ভর করে \( p \) এর মানের উপর।

ধাপ ১: সাধারণ আকার বিশ্লেষণ

এই সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত বক্ররেখার সাধারণ রূপ:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

অর্থাৎ, এটি একটি উপবৃত্ত যদি \( a^2 > 0 \) ও \( b^2 > 0 \) হয়।

ধাপ ২: \( p \) এর মান অনুযায়ী বক্ররেখার রূপ নির্ণয়

• যদি \( p > 0 \), তবে:

\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{p} = 1 \]

এটি একটি উপবৃত্ত, কারণ উভয় ডেনমিনেটর ধনাত্মক।

• যদি \( p = 0 \), তবে সমীকরণ হয়:

\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{0} = 1 \]

এখানে, \(\frac{y^2}{0}\) অর্থাৎ এটি অপ্রত্যাশিত, অর্থাৎ এই সমীকরণটি সম্ভব নয় বা এটি একধরনের অসংজ্ঞায়িত অবস্থা। তবে, যদি আমরা ভাবি যে, এই অবস্থায় সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে, তাহলে তা সম্ভব নয় কারণ ডেনমিনেটর 0 হওয়া মানে সমীকরণটি অপ্রত্যাশিত বা অপ্রয়োজনীয়।

• যদি \( p < 0 \), তাহলে:

\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{p} = 1 \], যেখানে \( p < 0 \)

এখানে, \(\frac{y^2}{p}\) নেগেটিভ সংখ্যার দিকে যায় কারণ \( p<0 \)।

এটি একটি হাইপারবোলা, কারণ এক ডেনমিনেটর ধনাত্মক, অন্যটি ঋণাত্মক।

উপসংহার

অতএব,:

• পোস্টের (ii) নির্দেশ করে যে, যখন \( p=0 \), তখন এটি উপবৃত্ত। কিন্তু প্রকৃতপক্ষে, এই মানে সমীকরণ অপ্রয়োজ্য বা অসম্ভব। তবে, প্রশ্ন অনুযায়ী, এটি একটি বিশেষ পরিস্থিতি বোঝায়।
• পোস্টের (iii) নির্দেশ করে যে, যখন \( p<0 \), তখন এটি একটি অধিবৃত্ত বা হাইপারবোলা।

সঠিক উত্তর: "ii ও iii"

অর্থাৎ,:

উপসংহার: এই সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করবে যখন \( p=0 \) হবে (অর্থাৎ, এই পরিস্থিতিতে এটি একটি বিশেষ ধরনের বা সীমাবদ্ধ অবস্থা), এবং এটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করবে যখন \( p<0 \) হবে।